13.55 Cada um dos dois pêndulos mostrados na Figura 13.34 consiste em uma sólida esfera uniforme de massa M sustentado por uma corda de massa desprezível, porém a esfera do pêndulo A é muito pequena, enquanto a esfera do pêndulo B é bem maior. Calcule o período de cada pêndulo para deslocamentos pequenos. Qual das esferas leva mais tempo para completar uma oscilação?

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular o período de oscilação para cada pêndulo.

### Pêndulo A
O pêndulo A é um pêndulo simples com uma massa pontual. O período $ T_A $ de um pêndulo simples é dado por:

$$
T_A = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
$$

onde:
- $ L $ é o comprimento do fio,
- $ g $ é a aceleração devido à gravidade.

### Pêndulo B
O pêndulo B tem uma esfera maior, e devemos considerar o raio da esfera no cálculo do momento de inércia. Para um pêndulo físico, o período $ T_B $ é dado por:

$$
T_B = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}
$$

onde:
- $ I $ é o momento de inércia da esfera,
- $ h $ é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa.

Para uma esfera sólida, o momento de inércia em relação ao seu centro é $ I_{\text{cm}} = \frac{2}{5}MR^2 $. O teorema dos eixos paralelos nos dá:

$$
I = I_{\text{cm}} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2
$$

E a distância $ h $ é $ \frac{L}{2} $.

Substituindo na fórmula do período:

$$
T_B = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{2}{5}MR^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2}{Mg\frac{L}{2}}}
$$

Simplificando:

$$
T_B = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{2}{5}R^2 + \frac{L^2}{4}}{\frac{gL}{2}}}
$$

### Comparação

Comparando $ T_A $ e $ T_B $, podemos ver que o período do pêndulo B será maior devido ao momento de inércia adicional da esfera. Portanto, a esfera do pêndulo B leva mais tempo para completar uma oscilação.

13.55 Cada um dos dois pêndulos mostrados na Figura 13.34 co...

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