3 – (1,5) – Você deseja determinar o momento de inércia de certa parte complicada de uma máquina em relação a um eixo passando em seu centro de massa. Você suspende o objeto por um fio ao longo desse eixo. A constante de torção do fio é igual a 0,450 N.m/rad. Você torce ligeiramente o objeto ao redor desse eixo e o liberta, cronometando 125 oscilações em 265 s. Qual é o momento de inércia?

Question

Accepted Answer

Para determinar o momento de inércia, podemos usar a fórmula do período de oscilação para um pêndulo de torção:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{k}} $$

onde:
- $ T $ é o período de uma oscilação,
- $ I $ é o momento de inércia,
- $ k $ é a constante de torção.

Primeiro, calculamos o período $ T $:

$$ T = \frac{\text{tempo total}}{\text{número de oscilações}} = \frac{265 \, \text{s}}{125} = 2,12 \, \text{s} $$

Agora, substituímos na fórmula do período:

$$ 2,12 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{0,450}} $$

Isolando $ I $:

$$ \sqrt{\frac{I}{0,450}} = \frac{2,12}{2\pi} $$

$$ \frac{I}{0,450} = \left(\frac{2,12}{2\pi}\right)^2 $$

$$ I = 0,450 \times \left(\frac{2,12}{2\pi}\right)^2 $$

Calculando:

$$ I = 0,450 \times \left(\frac{2,12}{6,2832}\right)^2 $$

$$ I = 0,450 \times (0,3377)^2 $$

$$ I = 0,450 \times 0,1141 $$

$$ I \approx 0,0513 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 $$

Portanto, o momento de inércia é aproximadamente $ 0,0513 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 $.