Durante o verão, na fazenda de cavalos de seu tio, você passa uma semana auxiliando o ferreiro. Você observa a maneira como ele resfria uma ferradura depois de configurar a peça, quente e maleável, na forma e no tamanho corretos. Suponha que 750 g de ferro para uma ferradura tenham sido retirados do fogo, configurados e, a uma temperatura de 650°C, mergulhados em um balde de 25,0 L com água a 10,0°C. Qual é a temperatura final da água, depois de atingido o equilíbrio com a ferradura? Despreze qualquer aquecimento do balde e suponha o calor específico do ferro igual a 460 J/(kg · K).

Question

Accepted Answer

Para encontrar a temperatura final da água e da ferradura depois de atingido o equilíbrio, podemos usar a conservação de energia, onde o calor perdido pela ferradura é igual ao calor ganho pela água.

A fórmula para o calor ($Q$) é:
$$Q = mc\Delta T$$
onde $m$ é a massa, $c$ é o calor específico e $\Delta T$ é a mudança na temperatura.

Dados:
- Massa da ferradura de ferro ($m_{\text{ferro}}$) = 750 g = 0.75 kg (convertendo para quilogramas)
- Temperatura inicial da ferradura ($T_{i,\text{ferro}}$) = 650°C
- Calor específico do ferro ($c_{\text{ferro}}$) = 460 J/(kg·K)
- Volume de água ($V_{\text{água}}$) = 25.0 L = 25.0 kg (considerando a densidade da água aproximadamente 1 kg/L)
- Temperatura inicial da água ($T_{i,\text{água}}$) = 10.0°C
- Calor específico da água ($c_{\text{água}}$) = 4184 J/(kg·K)

Queremos encontrar a temperatura final comum ($T_f$).

O calor perdido pela ferradura é igual ao calor ganho pela água:
$$m_{\text{ferro}}c_{\text{ferro}}(T_{f} - T_{i,\text{ferro}}) = -m_{\text{água}}c_{\text{água}}(T_{f} - T_{i,\text{água}})$$

Reorganizando a equação para resolver para $T_f$, temos:
$$m_{\text{ferro}}c_{\text{ferro}}T_{f} - m_{\text{água}}c_{\text{água}}T_{f} = m_{\text{água}}c_{\text{água}}T_{i,\text{água}} - m_{\text{ferro}}c_{\text{ferro}}T_{i,\text{ferro}}$$

$$T_{f}(m_{\text{ferro}}c_{\text{ferro}} + m_{\text{água}}c_{\text{água}}) = m_{\text{água}}c_{\text{água}}T_{i,\text{água}} - m_{\text{ferro}}c_{\text{ferro}}T_{i,\text{ferro}}$$

$$T_{f} = \frac{m_{\text{água}}c_{\text{água}}T_{i,\text{água}} - m_{\text{ferro}}c_{\text{ferro}}T_{i,\text{ferro}}}{m_{\text{ferro}}c_{\text{ferro}} + m_{\text{água}}c_{\text{água}}}$$

Substituindo os valores dados:
$$T_{f} = \frac{(25)(4184)(10) - (0.75)(460)(650)}{(0.75)(460) + (25)(4184)}$$

$$T_{f} = \frac{1046000 - 219000}{345 + 104600}$$

$$T_{f} = \frac{827000}{104945}$$

$$T_{f} ≈ 7.88°C$$

Portanto, a temperatura final da água, depois de atingir o equilíbrio térmico com a ferradura, seria aproximadamente 7.88°C. Note que houve um erro no cálculo: ao aplicar corretamente as equações, espera-se que a temperatura final seja maior do que a temperatura inicial da água, devido à transferência de calor da ferradura quente para a água fria. Vamos corrigir a equação e o processo de pensamento.

Correção: O calor perdido pelo ferro é igual ao calor ganho pela água, mas a equação correta deve considerar o aumento da temperatura da água e a diminuição da temperatura do ferro. Vamos recalcular corretamente:

$$T_{f} = \frac{m_{\text{água}}c_{\text{água}}T_{i,\text{água}} + m_{\text{ferro}}c_{\text{ferro}}T_{i,\text{ferro}}}{m_{\text{ferro}}c_{\text{ferro}} + m_{\text{água}}c_{\text{água}}}$$

$$T_{f} = \frac{(25)(4184)(10) + (0.75)(460)(650)}{(0.75)(460) + (25)(4184)}$$

$$T_{f} = \frac{1046000 + 219000}{345 + 104600}$$

$$T_{f} = \frac{1265000}{104945}$$

$$T_{f} ≈ 12.05°C$$

Assim, após corrigir o cálculo, a temperatura final da água, depois de atingido o equilíbrio com a ferradura, seria aproximadamente 12.05°C.

Durante o verão, na fazenda de cavalos de seu tio, você pass...

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