O módulo da densidade de corrente J(r) em um fio cilíndrico com 5 mm de raio é dado por J(r)=βr, onde r é a distância ao centro do fio em metros e β=8 x 105 A/m3. Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, com 11,8 μm de largura, situado a 3,9 mm do centro do fio? Expresse sua resposta em μC.

Question

Accepted Answer

Para encontrar a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, precisamos calcular a integral da densidade de corrente $ J(r) $ sobre a área do anel.

Primeiro, vamos definir os parâmetros:

- Raio interno do anel: $ r_1 = 3.9 \text{ mm} = 3.9 \times 10^{-3} \text{ m} $
- Largura do anel: $ \Delta r = 11.8 \text{ μm} = 11.8 \times 10^{-6} \text{ m} $
- Raio externo do anel: $ r_2 = r_1 + \Delta r = 3.9 \times 10^{-3} \text{ m} + 11.8 \times 10^{-6} \text{ m} = 3.9118 \times 10^{-3} \text{ m} $
- Densidade de corrente: $ J(r) = \beta r $, onde $ \beta = 8 \times 10^5 \text{ A/m}^3 $

A corrente $ I $ através de uma área é dada por:
$$ I = \int_A \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A} $$

Para um anel cilíndrico, a área diferencial em coordenadas polares é:
$$ dA = 2 \pi r \, dr $$

Portanto, a corrente através do anel é:
$$ I = \int_{r_1}^{r_2} J(r) \cdot 2 \pi r \, dr $$
Substituindo $ J(r) = \beta r $:
$$ I = \int_{r_1}^{r_2} \beta r \cdot 2 \pi r \, dr $$
$$ I = 2 \pi \beta \int_{r_1}^{r_2} r^2 \, dr $$

Agora, vamos calcular a integral:
$$ \int_{r_1}^{r_2} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{r_1}^{r_2} = \frac{r_2^3}{3} - \frac{r_1^3}{3} $$

Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
$$ \frac{(3.9118 \times 10^{-3})^3}{3} - \frac{(3.9 \times 10^{-3})^3}{3} $$

Calculando cada termo:
$$ (3.9118 \times 10^{-3})^3 = 5.990 \times 10^{-11} $$
$$ (3.9 \times 10^{-3})^3 = 5.927 \times 10^{-11} $$

Então:
$$ \frac{5.990 \times 10^{-11}}{3} - \frac{5.927 \times 10^{-11}}{3} = \frac{5.990 - 5.927}{3} \times 10^{-11} = \frac{0.063}{3} \times 10^{-11} = 2.1 \times 10^{-12} $$

Finalmente, substituímos na expressão da corrente:
$$ I = 2 \pi \beta \cdot 2.1 \times 10^{-12} $$
$$ I = 2 \pi \cdot 8 \times 10^5 \cdot 2.1 \times 10^{-12} $$
$$ I = 33.8 \times 10^{-7} \text{ A} $$
$$ I = 3.38 \times 10^{-6} \text{ A} $$

Convertendo para microcoulombs ($ \mu C $):
$$ I = 3.38 \times 10^{-6} \text{ A} \times 1 \text{ s} = 3.38 \text{ μC} $$

Portanto, a corrente que passa pelo anel é aproximadamente **3.38 μC**.

O módulo da densidade de corrente J(r) em um fio cilíndrico ...

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