Responda de forma resumida a questão "(a) Calcule, para o ar, a capacidade térmica a volume constante por unidade de massa e a capacidade térmica à pressão constante por unidade de massa. Suponha o ar a uma temperatura de 300 K e a uma pressão de 1,00 × 105 N/m2. Suponha, também, que o ar seja constituído por 74,0 por cento de moléculas de N2 (peso molecular de 28,0 g/mol) e 26,0 por cento de moléculas de O2 (peso molecular de 32,0 g/mol) e que ambos os constituintes sejam gases ideais. (b) Compare sua resposta para o calor específico à pressão constante com o valor tabelado nos manuais, de 1,032 kJ/kg · K."

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos dividir o problema em partes conforme solicitado:

### (a) Capacidade Térmica a Volume Constante e à Pressão Constante

Primeiro, precisamos calcular a capacidade térmica molar média ($C_v$ e $C_p$) para o ar, considerando-o como uma mistura de gases ideais. Para isso, vamos usar as proporções dadas de $N_2$ e $O_2$, e os valores de $C_v$ e $C_p$ para gases diatômicos ideais.

Para gases diatômicos perfeitos, $C_v = \frac{5}{2}R$ e $C_p = C_v + R = \frac{7}{2}R$, onde $R$ é a constante universal dos gases, $R = 8,314 \, \text{J/mol·K}$.

#### Cálculo de $C_v$ e $C_p$ para o Ar:

1. **$C_v$ para $N_2$**: $C_{v,N_2} = \frac{5}{2}R$
2. **$C_p$ para $N_2$**: $C_{p,N_2} = \frac{7}{2}R$

E o mesmo para $O_2$, pois ambos são gases diatômicos.

Agora, calculamos as capacidades térmicas ponderadas pela composição do ar:

- **Capacidade térmica molar média a volume constante ($C_{v,\text{ar}}$)**:
$$C_{v,\text{ar}} = 0,74 \times C_{v,N_2} + 0,26 \times C_{v,O_2} = \frac{5}{2}R \times (0,74 + 0,26) = \frac{5}{2}R$$

- **Capacidade térmica molar média à pressão constante ($C_{p,\text{ar}}$)**:
$$C_{p,\text{ar}} = 0,74 \times C_{p,N_2} + 0,26 \times C_{p,O_2} = \frac{7}{2}R \times (0,74 + 0,26) = \frac{7}{2}R$$

Para converter essas capacidades térmicas molares em capacidades térmicas por unidade de massa, usamos a massa molar média do ar:

- Massa molar do $N_2$: $28,0 \, \text{g/mol}$
- Massa molar do $O_2$: $32,0 \, \text{g/mol}$
- Massa molar média do ar: $M_{\text{ar}} = 0,74 \times 28,0 + 0,26 \times 32,0$

Calculando $M_{\text{ar}}$:

$$M_{\text{ar}} = 0,74 \times 28,0 + 0,26 \times 32,0 = 20,72 + 8,32 = 29,04 \, \text{g/mol}$$

Convertendo para kg/mol para compatibilidade com as unidades de $C_v$ e $C_p$:

$$M_{\text{ar}} = \frac{29,04}{1000} \, \text{kg/mol}$$

Então, as capacidades térmicas por unidade de massa são:

- $c_v = \frac{C_{v,\text{ar}}}{M_{\text{ar}}} = \frac{\frac{5}{2}R}{M_{\text{ar}}}$
- $c_p = \frac{C_{p,\text{ar}}}{M_{\text{ar}}} = \frac{\frac{7}{2}R}{M_{\text{ar}}}$

Substituindo $R$ e $M_{\text{ar}}$:

- $c_v = \frac{\frac{5}{2} \times 8,314}{0,02904} \, \text{J/(kg·K)}$
- $c_p = \frac{\frac{7}{2} \times 8,314}{0,02904} \, \text{J/(kg·K)}$

Calculando:

- $c_v ≈ 717,5 \, \text{J/(kg·K)}$
- $c_p ≈ 1004,5 \, \text{J/(kg·K)}$

### (b) Comparação com o Valor Tabelado

O valor calculado de $c_p$ para o ar é aproximadamente $1004,5 \, \text{J/(kg·K)}$, enquanto o valor tabelado fornecido é $1,032 \, \text{kJ/kg·K} = 1032 \, \text{J/(kg·K)}$.

Há uma pequena diferença entre os valores, que pode ser atribuída a simplificações no modelo de gás ideal, variações na composição real do ar, ou arredondamentos nas constantes utilizadas. No entanto, os valores são bastante próximos, validando nossa abordagem de cálculo.

Responda de forma resumida a questão "(a) Calcule, para o ar...

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