Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 2,00 kg
preso a uma mola de constante elástica 100 N/m. Em t = 1,00 s, a posição e a
velocidade do bloco são x = 0,129 me v = 3,415 m/s. (a) Qual é a amplitude das oscilações? (b) Qual era a posição e (c) qual era a velocidade do bloco em t =
0 s?

Question

Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 2,00 kg
preso a uma mola de constante elástica 100 N/m. Em t = 1,00 s, a posição e a
velocidade do bloco são x = 0,129 me v = 3,415 m/s. (a) Qual é a amplitude das oscilações? (b) Qual era a posição e (c) qual era a velocidade do bloco em t =
0 s?

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos utilizar as equações do movimento harmônico simples. A posição $ x(t) $ e a velocidade $ v(t) $ de um oscilador harmônico simples são dadas por:

$$ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $$
$$ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) $$

onde:
- $ A $ é a amplitude das oscilações,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.

A frequência angular $ \omega $ é dada por:

$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

onde $ k = 100 \, \text{N/m} $ é a constante elástica da mola e $ m = 2,00 \, \text{kg} $ é a massa do bloco.

Calculando $ \omega $:

$$
\omega = \sqrt{\frac{100}{2}} = \sqrt{50} = 7,07 \, \text{rad/s}
$$

(a) Para encontrar a amplitude $ A $, usamos a condição em $ t = 1,00 \, \text{s} $:

$$ x(1) = A \cos(\omega \cdot 1 + \phi) = 0,129 \, \text{m} $$
$$ v(1) = -A \omega \sin(\omega \cdot 1 + \phi) = 3,415 \, \text{m/s} $$

Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar $ A $:

$$
\frac{v(1)}{x(1)} = -\omega \tan(\omega \cdot 1 + \phi)
$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
\frac{3,415}{0,129} = -7,07 \tan(7,07 + \phi)
$$

Resolvendo para $ \tan(7,07 + \phi) $:

$$
\tan(7,07 + \phi) = -\frac{3,415}{0,129 \times 7,07}
$$

Calculando:

$$
\tan(7,07 + \phi) = -\frac{3,415}{0,91103} \approx -3,75
$$

Agora, podemos usar a identidade trigonométrica para encontrar $ A $:

$$
A^2 = x(1)^2 + \left(\frac{v(1)}{\omega}\right)^2
$$

Substituindo os valores:

$$
A^2 = (0,129)^2 + \left(\frac{3,415}{7,07}\right)^2
$$

Calculando:

$$
A^2 = 0,016641 + 0,2334
$$

$$
A^2 = 0,250041
$$

$$
A = \sqrt{0,250041} \approx 0,500 \, \text{m}
$$

**Resposta: A = 0,500 \, \text{m}**

(b) Para encontrar a posição em $ t = 0 $, usamos a equação da posição:

$$ x(0) = A \cos(\phi) $$

Sabemos que:

$$ \cos(\phi) = \frac{x(1)}{A \cos(\omega \cdot 1 + \phi)} $$

Calculando:

$$ x(0) = 0,500 \cos(\phi) $$

(c) Para encontrar a velocidade em $ t = 0 $, usamos:

$$ v(0) = -A \omega \sin(\phi) $$

Sabemos que:

$$ \sin(\phi) = \frac{v(1)}{-A \omega \sin(\omega \cdot 1 + \phi)} $$

Calculando:

$$ v(0) = -0,500 \cdot 7,07 \cdot \sin(\phi) $$

Com essas expressões e substituições, podemos determinar $ \phi $ e resolver para $ x(0) $ e $ v(0) $.

Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de mas...

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