Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado, como na figura abaixo.
(a) Escreva uma expressão para o campo magnético a uma distância r do eixo central das placas que seja válida parar S R.
(b) Calcule o módulo B do campo magnético para r =
15
= 12,0 mm e
at
= 1,40 X 1012 V /m • s.
(c) Escreva uma expressão para o campo magnético induzido no caso em quer ≥ R.

Question

Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado, como na figura abaixo.
(a) Escreva uma expressão para o campo magnético a uma distância r do eixo central das placas que seja válida parar S R.
(b) Calcule o módulo B do campo magnético para r =
15
= 12,0 mm e
at
= 1,40 X 1012 V /m • s.
(c) Escreva uma expressão para o campo magnético induzido no caso em quer ≥ R.

Accepted Answer

Resposta:
(a) $ B = \frac{\mu_0 j \pi r^2}{2\pi r} = \frac{\mu_0 j r}{2} $
(b) $ B = 0,0264 $ T
(c) $ B = 0 $

Explicação:
(a) Primeiramente, vamos nos focar no campo magnético gerado por um capacitor enquanto esse está sendo carregado. Se $ r \leq R $, o campo magnético em um ponto situado numa distância $ r $ do centro de uma das placas circulares pode ser entendido considerando a corrente que flui no espaço entre as placas. O campo magnético criado por esta corrente na posição $ r $ pode ser encontrado usando a Lei de Ampère. Para um caminho amperiano circular de raio $ r $, temos:
$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(2\pi r) = \mu_0 I_{\text{enc}} $$
Onde $ I_{\text{enc}} $ é a corrente encerrada pelo caminho amperiano. A densidade de corrente $ j $ é igual a $ \frac{dI}{dA} $, e a corrente $ I $ que passa pelo capacitor é relacionada ao incremento de campo elétrico $ \frac{dE}{dt} $ pela equação de deslocamento de Maxwell, $ j = \epsilon_0 \frac{dE}{dt} $. A área $ A $ para um caminho amperiano de raio $ r $ é $ \pi r^2 $, então:
$$ I_{\text{enc}} = j \pi r^2 = \epsilon_0 \frac{dE}{dt} \pi r^2 $$
Assim:
$$ B(2\pi r) = \mu_0 \epsilon_0 \frac{dE}{dt} \pi r^2 $$
$$ B = \frac{\mu_0 \epsilon_0 \frac{dE}{dt} \pi r^2}{2\pi r} = \frac{\mu_0 \epsilon_0 \frac{dE}{dt} r}{2} $$
Como $ j = \epsilon_0 \frac{dE}{dt} $, podemos simplificar:
$$ B = \frac{\mu_0 j r}{2} $$

(b) Substituindo $ r = 12,0 \times 10^{-3} \, \text{m} $ e $ \frac{dE}{dt} = 1,40 \times 10^{12} \, \text{V/m/s} $ na equação:
$$ B = \frac{\mu_0 \cdot 1,40 \times 10^{12} \cdot 12,0 \times 10^{-3}}{2} $$
$$ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2 $$
Calculando:
$$ B = 0,0264 \, \text{T} $$

(c) Se $ r \geq R $, o caminho amperiano envolve a placa inteira e nenhuma corrente atravessa a área deste percurso, tornando $ I_{\text{enc}} = 0 $. Assim sendo, o campo magnético induzido é:
$$ B = 0 $$

Essas soluções fornecem uma análise detalhada tanto para o campo dentro do raio das placas quanto para fora, considerando a dinâmica da corrente de deslocamento durante o processo de carregamento.

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