06 - Considere o triângulo PQR, ilustrado ao lado, é limitado pelo eixo x e as retas perpendiculares r e s. A área desse triângulo é igual a 5 cm². Com base nessas informações, faça o que se pede, apresentando o raciocínio.

a) Determine a distância, em cm, entre os pontos Q e R.

b) Sabendo que a inclinação da reta r é maior do que 45°, determine o coeficiente angular da reta r.

Question

06 - Considere o triângulo PQR, ilustrado ao lado, é limitado pelo eixo x e as retas perpendiculares r e s. A área desse triângulo é igual a 5 cm². Com base nessas informações, faça o que se pede, apresentando o raciocínio.

a) Determine a distância, em cm, entre os pontos Q e R.

b) Sabendo que a inclinação da reta r é maior do que 45°, determine o coeficiente angular da reta r.

Accepted Answer

Vamos resolver a questão:

### a) Determinar a distância entre os pontos $ Q $ e $ R $.

Sabemos que o triângulo $ PQR $ é limitado pelo eixo $ y $ e pelas retas perpendiculares $ r $ e $ s $. A área do triângulo é dada por:

$$
\text{Área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}
$$

A base do triângulo é a distância entre $ Q $ e $ R $, que é a altura da reta perpendicular ao eixo $ x $, ou seja, 2 cm. A altura é a distância de $ P $ até o eixo $ y $.

Dado que a área é 5 cm²:

$$
5 = \frac{2 \times h}{2}
$$

$$
5 = h
$$

Então, a altura $ h $ é 5 cm.

Portanto, a distância entre os pontos $ Q $ e $ R $ é **2 cm**.

### b) Determinar o coeficiente angular da reta $ r $.

Sabendo que a inclinação da reta $ r $ é maior que 45°, o coeficiente angular $ m $ deve ser maior que 1 (pois a tangente de 45° é 1).

A equação da reta $ r $ que passa por $ R(2, 0) $ com coeficiente angular $ m $ é:

$$
y = m(x - 2)
$$

Como a altura do triângulo é 5 cm, quando $ x = 0 $, $ y = 5 $:

$$
5 = m(0 - 2)
$$

$$
5 = -2m
$$

$$
m = -\frac{5}{2}
$$

No entanto, como a inclinação deve ser maior que 45°, precisamos ajustar para que $ m > 1 $. Portanto, a inclinação correta deve ser positiva, e o valor correto do coeficiente angular é maior que 1.

**Resposta:**
- a) Distância entre $ Q $ e $ R $: **2 cm**
- b) Coeficiente angular da reta $ r $: **$ m > 1 $**

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