A figura abaixo mostra duas esferas A e B , carregadas positivamente, presas a uma haste fixa a teto. A carga de cada uma dessas esferas é $ 4,9 \mu \mathrm{C} $ e a distância entre elas é 3 m . Uma terceira ester C é colocada em um ponto equidistante das duas esferas Ae B , de tal forma que a esfera C flutu suspensa, em equilibrio, a uma altura de 2 m da haste. Sabendo que a massa da estera C é $ 1,8 \mathrm{~g} $ qual é o módulo de sua carga para que essa configuraçäo seja possivel?

A $ \quad 1.6 \mu C $

B
1. $ 2.4 \mu C $

C 1. $ 3.2 \mu \mathrm{C} $

D $ \quad 49 $ LC

E $ \quad 56 $

Question

A figura abaixo mostra duas esferas A e B , carregadas positivamente, presas a uma haste fixa a teto. A carga de cada uma dessas esferas é $ 4,9 \mu \mathrm{C} $ e a distância entre elas é 3 m . Uma terceira ester C é colocada em um ponto equidistante das duas esferas Ae B , de tal forma que a esfera C flutu suspensa, em equilibrio, a uma altura de 2 m da haste. Sabendo que a massa da estera C é $ 1,8 \mathrm{~g} $ qual é o módulo de sua carga para que essa configuraçäo seja possivel?

A $ \quad 1.6 \mu C $

B
1. $ 2.4 \mu C $

C 1. $ 3.2 \mu \mathrm{C} $

D $ \quad 49 $ LC

E $ \quad 56 $

Accepted Answer

**Resposta: C**

Para resolver este problema, precisamos analisar as forças que atuam na esfera C. A esfera C está em equilíbrio, então a força elétrica resultante das esferas A e B deve equilibrar o peso da esfera C.

1. **Força Elétrica entre Esferas:**

A força elétrica $ F $ entre duas cargas $ q_1 $ e $ q_2 $, separadas por uma distância $ r $, é dada pela Lei de Coulomb:

$$ F = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} $$

onde $ k_e $ é a constante eletrostática, $ 8,99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2 $.

2. **Distâncias:**

A esfera C está a uma altura de 2 m da haste e equidistante das esferas A e B, que estão separadas por 3 m. Portanto, a distância de C a A (ou B) é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de 1,5 m e 2 m:

$$ r = \sqrt{(1,5 \, \text{m})^2 + (2 \, \text{m})^2} = \sqrt{2,25 + 4} = \sqrt{6,25} = 2,5 \, \text{m} $$

3. **Forças Elétricas:**

As forças elétricas $ F_A $ e $ F_B $ entre C e A, e C e B, são iguais em magnitude:

$$ F_A = F_B = k_e \frac{(4,9 \times 10^{-6} \, \text{C}) q_C}{(2,5 \, \text{m})^2} $$

4. **Componentes Verticais:**

A componente vertical dessas forças deve equilibrar o peso da esfera C. Como as forças de A e B têm componentes simétricas, a soma das componentes verticais é:

$$ 2 F \cos \theta = mg $$

onde $ \theta $ é o ângulo entre a linha horizontal e a linha que conecta C a A (ou B). Usando trigonometria:

$$ \cos \theta = \frac{2}{2,5} = 0,8 $$

Portanto:

$$ 2 \left( k_e \frac{(4,9 \times 10^{-6} \, \text{C}) q_C}{(2,5 \, \text{m})^2} \right) \cdot 0,8 = mg $$

5. **Peso da Esfera C:**

$$ m = 1,8 \, \text{g} = 1,8 \times 10^{-3} \, \text{kg} $$
$$ g = 9,8 \, \text{m/s}^2 $$

$$ mg = 1,8 \times 10^{-3} \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{m/s}^2 = 1,764 \times 10^{-2} \, \text{N} $$

6. **Equação Final:**

$$ 2 \left( 8,99 \times 10^9 \frac{(4,9 \times 10^{-6}) q_C}{(2,5)^2} \right) \cdot 0,8 = 1,764 \times 10^{-2} $$

$$ 2 \left( 8,99 \times 10^9 \frac{(4,9 \times 10^{-6}) q_C}{6,25} \right) \cdot 0,8 = 1,764 \times 10^{-2} $$

$$ 2 \left( 8,99 \times 10^9 \times 7,84 \times 10^{-7} q_C \right) \cdot 0,8 = 1,764 \times 10^{-2} $$

$$ 2 \left( 7,05 \times 10^3 q_C \right) \cdot 0,8 = 1,764 \times 10^{-2} $$

$$ 2 \times 5,64 \times 10^3 q_C = 1,764 \times 10^{-2} $$

$$ 11,28 \times 10^3 q_C = 1,764 \times 10^{-2} $$

$$ q_C = \frac{1,764 \times 10^{-2}}{11,28 \times 10^3} $$

$$ q_C = 1,564 \times 10^{-6} \, \text{C} $$

$$ q_C \approx 1,6 \times 10^{-6} \, \text{C} $$

Convertendo para microcoulombs ($\mu \text{C}$):

$$ q_C \approx 1,6 \mu \text{C} $$

Portanto, a carga correta é **1,6 \mu C**.

A figura abaixo mostra duas esferas A e B , carregadas posit...

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