1. A equação 40.31 na caixa magenta acima, também pode ser escrita como:

En=h28mL2n2
, pois ℏ=h2π
.

Questão: Um elétron está confinado a uma caixa unidimensional com 4×10-10 m de diâmetro.

a) Calcule a energia do nível fundamental desse elétron. Dê a resposta em [eV]. É importante notar que, primeiro, precisamos calcular a energia em [J] e depois converter para [eV].

E1 =

b) O elétron no estado fundamental absorve um fóton e faz uma transição para o nível n = 3. Calcule a energia do fóton absorvido. Dê a resposta em [eV]

Efóton =

c) Calcule o comprimento de onda do fóton absorvido. Dê a resposta em [nm].

λfóton =

d) Ao atingir o nível n = 3, o sistema logo tende a voltar ao estado fundamental emitindo fóton(s). Isso pode ocorrer de várias formas: i) o elétron pode voltar ao estado fundamental emitindo um fóton com a mesma energia do fóton absorvido; ii) o elétron pode emitir dois fótons ao fazer duas transições sucessivas: primeiro para o nível n = 2 e depois para o nível n = 1. Portanto, três fótons com energias diferentes poderiam ser emitidos na transição do nível n = 3 para o fundamental, como mostra a figura abaixo. Calcule a energia desses dois fótons. Dê a resposta em [eV].

Efóton(3-2) =
Efóton(2-1) =

Para resolver a questão 1, utilize como base o exemplo abaixo (com outros valores):
A energia de um nível n de uma partícula confinada é dada por:
En = n2E1,
onde E1 é a energia do estado fundamental:
E1 = h2/(2mL2).
a) E1 = (6,626E-34)2/(8*9,11E-31(3E-10)2) = 6.69E-19 J
dividimos por 1,602E-19 para converter para eV
E1 = 4.18 eV
b) A energia do nível n = 3 pode ser calculada por:
En = n2E1
E3 = 32 4.18= 37.6 eV
A energia do fóton absorvido deve ser E3-E1:
Efóton = 37.6 - 4.18 = 33.4 eV
c) A energia do fóton pode ser calculada por E = hc/λ. Portanto, o comprimento de onda do fóton absorvido é:
λ = 4,136E-15*3E8/33.4*1E9 = 37.1 nm
d) A energia dos fóton emitidos é igual à diferença de energias entre os níveis da transição.
Portanto, o primeiro fóton tem energia:
E3-2 = E3 - E2 = 37.6 - 16.7 = 20.9 eV
O segundo fóton tem energia:
E2-1 = E2 - E1 = 16.7 - 4.18 = 12.5 eV

2.
Um elétron está confinado em uma caixa quadrada bidimensional de largura igual a 2×10-10 m.
a) Calcule a energia do estado fundamental desse elétron. Dê a resposta em [eV].

E11 =

b) Calcule o comprimento de onda de De Broglie no estado fundamental. Lembrando que a energia da partícula com comprimento de onda de De Broglie é Epartícula =h2/(2mλ2). Dê a resposta em [nm].
λelétron =

c) Calcule a energia do primeiro estado excitado desse elétron. Note que os estados com nx =1 e ny = 2 e com nx = 2 e ny = 1 possuem a mesma energia, então são estados degenerados. Dê a resposta em [eV].
E12 = E21 =

d) Calcule a energia do fóton absorvido pelo elétron para fazer uma transição do estado fundamental até o primeiro nível excitado. Dê a resposta em [eV].
Efóton =

e) Calcule o comprimento de onda do fóton absorvido pelo elétron para fazer uma transição do estado fundamental até o primeiro nível excitado. Dê a resposta em [nm].
λfóton =

Para responder a questão 2, utilizar como base o exemplo abaixo (com outros valores):
a) E11 = h2/(8mL2) (nx2+ny2) = h2/(8mL2)*2
E11 = (6,626E-34)2/(8*9,11E-31(2.5E-10)2) *2 = 1.9277223271131E-18 J

dividimos por 1,602E-19 para converter para eV
E11 = 12.03 eV
b) Epartícula =h2/(2mλ2)
λ = (6,626E-34)/sqrt(2*9,11E-31*1.9277223271131E-18)*1E9 = 0.354 nm
c) E12 = h2/(8mL2) (nx2+ny2) = h2/(8mL2)*5
E12 = (6,626E-34)2/(8*9,11E-31(2.5E-10)2) *5 /1,602E-19= 30.08 eV
d) Efóton = 30.08-12.03 = 18.05 eV
e) Efóton =hc/λ
λfóton= 4,136E-15*3E8/18.05 *1E9 = 68.74 nm

3.
Em um modelo bem simplificado de nanopartícula, um elétron está preso em um poço de potencial unidimensional infinito, de largura L, movendo-se apenas na direção Ox. A função de onda (no S.I.) que representa o elétron quando ele se encontra em um estado n é:

ψn(x)=5.164⋅104sin(12.57⋅109⋅x)

a) Determine a largura L do poço de potencial e o número n do estado do elétron. Resposta em nm.

b) Para o elétron no estado n, determinado no item (a), calcule a probabilidade de encontrá-lo na posição x = 0.5∙L.

P(x) = (·dx)

c) Calcule a velocidade do elétron quando ele se encontra no primeiro estado excitado.

v =
Resposta para parte 4
m/s
d) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido na transição do primeiro estado excitado para o estado fundamental. Resposta em nm.

λfóton =

Para responder a questão 3, utilize comoa) Comparando a equação dada com a função de onda de uma partícula confinada em um poço de potencial infinito unidimensional:
ψn(x)=5.216⋅104sin(8.549⋅109⋅x)𝜓𝑛(𝑥)=5.216⋅104𝑠𝑖𝑛(8.549⋅109⋅𝑥)
ψ(x) = √(2/L) sin2(n·π/L·x)
√(2/L) = 5.216E4
L = 2/(5.216E4)2 *1E9 = 0.735 nm
************
n·π/L = 8.549E9
n = 8.549E9*0.735E-9/π = 2

b) P(x) = |ψ(x)|2·dx
P( 0.45∙L) = (5.216E4)2sin2(8.549E9·0.45·0.735E-9) = 260000000·dx

c) Para o primeiro estado excitado: n = 2
λ2 = L = 0.735E-9 m

v=h/(m·λ2) = 6,626E-34/9,11E-31/0.735E-9 = 990000 m/s

d) En = n2 h2/(8mL2)
Energia do primeiro estado excitado: E2 = 22 h2/(8mL2)

E2 =4*(6,626E-34)2/8/9,11E-31/(0.735E-9)2 = 4.4604616759523E-19 J

Energia do estado fundamental: E1 = 12 h2/(8mL2)

E1 =1*(6,626E-34)2/8/9,11E-31/(0.735E-9)2 = 1.1151154189881E-19 J
Efóton=hc/λfóton = E2 - E1 = 3.3453462569642E-19 J
λfóton = 6,626E-34*3E8/3.3453462569642E-19*1E9 = 594 nm

base o exemplo abaixo (com outros valores):

Question

1. A equação 40.31 na caixa magenta acima, também pode ser escrita como:

En=h28mL2n2
, pois ℏ=h2π
.

Questão: Um elétron está confinado a uma caixa unidimensional com 4×10-10 m de diâmetro.

a) Calcule a energia do nível fundamental desse elétron. Dê a resposta em [eV]. É importante notar que, primeiro, precisamos calcular a energia em [J] e depois converter para [eV].

E1 =

b) O elétron no estado fundamental absorve um fóton e faz uma transição para o nível n = 3. Calcule a energia do fóton absorvido. Dê a resposta em [eV]

Efóton =

c) Calcule o comprimento de onda do fóton absorvido. Dê a resposta em [nm].

λfóton =

d) Ao atingir o nível n = 3, o sistema logo tende a voltar ao estado fundamental emitindo fóton(s). Isso pode ocorrer de várias formas: i) o elétron pode voltar ao estado fundamental emitindo um fóton com a mesma energia do fóton absorvido; ii) o elétron pode emitir dois fótons ao fazer duas transições sucessivas: primeiro para o nível n = 2 e depois para o nível n = 1. Portanto, três fótons com energias diferentes poderiam ser emitidos na transição do nível n = 3 para o fundamental, como mostra a figura abaixo. Calcule a energia desses dois fótons. Dê a resposta em [eV].

Efóton(3-2) = 
Efóton(2-1) =

Para resolver a questão 1, utilize como base o exemplo abaixo (com outros valores):
A energia de um nível n de uma partícula confinada é dada por:
En = n2E1,
onde E1 é a energia do estado fundamental:
E1 = h2/(2mL2).
a) E1 = (6,626E-34)2/(8*9,11E-31(3E-10)2) = 6.69E-19 J
dividimos por 1,602E-19 para converter para eV
E1 = 4.18 eV
b) A energia do nível n = 3 pode ser calculada por:
En = n2E1
 E3 = 32 4.18= 37.6 eV
A energia do fóton absorvido deve ser E3-E1:
Efóton = 37.6 - 4.18 = 33.4 eV
c) A energia do fóton pode ser calculada por E = hc/λ. Portanto, o comprimento de onda do fóton absorvido é:
λ = 4,136E-15*3E8/33.4*1E9 = 37.1 nm 
d) A energia dos fóton emitidos é igual à diferença de energias entre os níveis da transição.
Portanto, o primeiro fóton tem energia:
E3-2 = E3 - E2 = 37.6 - 16.7 = 20.9 eV
O segundo fóton tem energia:
E2-1 = E2 - E1 = 16.7 - 4.18 = 12.5 eV

2.
Um elétron está confinado em uma caixa quadrada bidimensional de largura igual a 2×10-10 m. 
a) Calcule a energia do estado fundamental desse elétron. Dê a resposta em [eV].

E11 =

b) Calcule o comprimento de onda de De Broglie no estado fundamental. Lembrando que a energia da partícula com comprimento de onda de De Broglie é Epartícula =h2/(2mλ2). Dê a resposta em [nm].
λelétron =

c)  Calcule a energia do primeiro estado excitado desse elétron. Note que os estados com nx =1 e ny = 2 e com nx = 2 e ny = 1 possuem a mesma energia, então são estados degenerados. Dê a resposta em [eV].
E12 = E21 =

d) Calcule a energia do fóton absorvido pelo elétron para fazer uma transição do estado fundamental até o primeiro nível excitado. Dê a resposta em [eV].
Efóton =

e) Calcule o comprimento de onda do fóton absorvido pelo elétron para fazer uma transição do estado fundamental até o primeiro nível excitado. Dê a resposta em [nm].
λfóton =

Para responder a questão 2, utilizar como base o exemplo abaixo (com outros valores):
a) E11 = h2/(8mL2) (nx2+ny2) = h2/(8mL2)*2
 E11 = (6,626E-34)2/(8*9,11E-31(2.5E-10)2) *2 = 1.9277223271131E-18 J
 
dividimos por 1,602E-19 para converter para eV
E11 = 12.03 eV
b) Epartícula =h2/(2mλ2) 
λ = (6,626E-34)/sqrt(2*9,11E-31*1.9277223271131E-18)*1E9 = 0.354 nm
c)  E12 = h2/(8mL2) (nx2+ny2) = h2/(8mL2)*5
 E12 = (6,626E-34)2/(8*9,11E-31(2.5E-10)2) *5 /1,602E-19= 30.08 eV
d) Efóton = 30.08-12.03 = 18.05 eV
e) Efóton =hc/λ
λfóton= 4,136E-15*3E8/18.05 *1E9 = 68.74 nm

3. 
Em um modelo bem simplificado de nanopartícula, um elétron está preso em um poço de potencial unidimensional infinito, de largura L, movendo-se apenas na direção Ox. A função de onda (no S.I.) que representa o elétron quando ele se encontra em um estado n é:

ψn(x)=5.164⋅104sin(12.57⋅109⋅x)

a) Determine a largura L do poço de potencial e o número n do estado do elétron. Resposta em nm.

b) Para o elétron no estado n, determinado no item (a), calcule a probabilidade de encontrá-lo na posição x = 0.5∙L.

P(x) =	(·dx)

c) Calcule a velocidade do elétron quando ele se encontra no primeiro estado excitado.

v =	
Resposta para parte 4
m/s
d) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido na transição do primeiro estado excitado para o estado fundamental. Resposta em nm.

λfóton =

Para responder a questão 3, utilize comoa) Comparando a equação dada com a função de onda de uma partícula confinada em um poço de potencial infinito unidimensional:
ψn(x)=5.216⋅104sin(8.549⋅109⋅x)𝜓𝑛(𝑥)=5.216⋅104𝑠𝑖𝑛(8.549⋅109⋅𝑥)
ψ(x) = √(2/L) sin2(n·π/L·x)
 √(2/L) = 5.216E4
L = 2/(5.216E4)2 *1E9 = 0.735 nm
************
n·π/L = 8.549E9
n = 8.549E9*0.735E-9/π = 2
 
b) P(x) = |ψ(x)|2·dx
P( 0.45∙L) = (5.216E4)2sin2(8.549E9·0.45·0.735E-9) = 260000000·dx
 
c) Para o primeiro estado excitado: n = 2
λ2 = L = 0.735E-9 m

v=h/(m·λ2) = 6,626E-34/9,11E-31/0.735E-9 = 990000 m/s
 
d) En = n2 h2/(8mL2)
Energia do primeiro estado excitado: E2 = 22 h2/(8mL2)

E2 =4*(6,626E-34)2/8/9,11E-31/(0.735E-9)2 = 4.4604616759523E-19 J

Energia do estado fundamental: E1 = 12 h2/(8mL2)

E1 =1*(6,626E-34)2/8/9,11E-31/(0.735E-9)2 = 1.1151154189881E-19 J
Efóton=hc/λfóton = E2 - E1 = 3.3453462569642E-19 J
λfóton = 6,626E-34*3E8/3.3453462569642E-19*1E9 = 594 nm

base o exemplo abaixo (com outros valores):

Accepted Answer

Vamos resolver a questão 1 passo a passo.

### Questão 1

#### a) Calcule a energia do nível fundamental desse elétron. Dê a resposta em [eV].

A energia de um nível $ n $ de uma partícula confinada em uma caixa unidimensional é dada por:

$$ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} $$

Para o nível fundamental ($ n = 1 $):

$$ E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} $$

Utilizando os valores:
- $ h = 6,626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s} $
- $ m = 9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg} $
- $ L = 4 \times 10^{-10} \, \text{m} $

Substituindo na fórmula:

$$ E_1 = \frac{(6,626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9,11 \times 10^{-31} \times (4 \times 10^{-10})^2} $$

Calculando:

$$ E_1 = \frac{4,39 \times 10^{-67}}{8 \times 9,11 \times 10^{-31} \times 16 \times 10^{-20}} $$
$$ E_1 = \frac{4,39 \times 10^{-67}}{1,1648 \times 10^{-48}} $$
$$ E_1 = 3,77 \times 10^{-19} \, \text{J} $$

Convertendo para eV (1 eV = $ 1,602 \times 10^{-19} $ J):

$$ E_1 = \frac{3,77 \times 10^{-19}}{1,602 \times 10^{-19}} $$
$$ E_1 \approx 2,35 \, \text{eV} $$

#### b) O elétron no estado fundamental absorve um fóton e faz uma transição para o nível $ n = 3 $. Calcule a energia do fóton absorvido. Dê a resposta em [eV].

A energia do nível $ n = 3 $ é:

$$ E_3 = 3^2 E_1 = 9 E_1 $$

Portanto:

$$ E_3 = 9 \times 2,35 \, \text{eV} $$
$$ E_3 = 21,15 \, \text{eV} $$

A energia do fóton absorvido é a diferença entre $ E_3 $ e $ E_1 $:

$$ E_{\text{fóton}} = E_3 - E_1 $$
$$ E_{\text{fóton}} = 21,15 \, \text{eV} - 2,35 \, \text{eV} $$
$$ E_{\text{fóton}} = 18,80 \, \text{eV} $$

#### c) Calcule o comprimento de onda do fóton absorvido. Dê a resposta em [nm].

Utilizando a relação $ E = \frac{hc}{\lambda} $:

$$ \lambda = \frac{hc}{E} $$

Com:
- $ h = 4,136 \times 10^{-15} \, \text{eV} \cdot \text{s} $
- $ c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} $
- $ E = 18,80 \, \text{eV} $

Substituindo:

$$ \lambda = \frac{4,136 \times 10^{-15} \times 3 \times 10^8}{18,80} $$
$$ \lambda = \frac{1,2408 \times 10^{-6}}{18,80} $$
$$ \lambda \approx 65,98 \, \text{nm} $$

#### d) Calcule a energia dos fótons emitidos nas transições $ n = 3 \to 2 $ e $ n = 2 \to 1 $. Dê a resposta em [eV].

Para $ n = 2 $:

$$ E_2 = 2^2 E_1 = 4 E_1 $$
$$ E_2 = 4 \times 2,35 \, \text{eV} $$
$$ E_2 = 9,40 \, \text{eV} $$

Energia do fóton na transição $ n = 3 \to 2 $:

$$ E_{\text{fóton}(3-2)} = E_3 - E_2 $$
$$ E_{\text{fóton}(3-2)} = 21,15 \, \text{eV} - 9,40 \, \text{eV} $$
$$ E_{\text{fóton}(3-2)} = 11,75 \, \text{eV} $$

Energia do fóton na transição $ n = 2 \to 1 $:

$$ E_{\text{fóton}(2-1)} = E_2 - E_1 $$
$$ E_{\text{fóton}(2-1)} = 9,40 \, \text{eV} - 2,35 \, \text{eV} $$
$$ E_{\text{fóton}(2-1)} = 7,05 \, \text{eV} $$

Portanto:

$$ E_{\text{fóton}(3-2)} = 11,75 \, \text{eV} $$
$$ E_{\text{fóton}(2-1)} = 7,05 \, \text{eV} $$

1. A equação 40.31 na caixa magenta acima, também pode ser e...

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