Um feixe de elétrons com energia cinética K=103eV
incide perpendicularmente sobre a superfície de um cristal desconhecido e o máximo de difração de ordem m=2
é observado em um ângulo θ2=37∘
.

a) Qual é o comprimento de onda λ de um elétron do feixe? Resposta em pm.

b) Qual é a distância d entre átomos adjacentes na superfície do cristal? Resposta em nm.

Question

Um feixe de elétrons com energia cinética K=103eV
 incide perpendicularmente sobre a superfície de um cristal desconhecido e o máximo de difração de ordem m=2
 é observado em um ângulo θ2=37∘
.

a) Qual é o comprimento de onda λ de um elétron do feixe? Resposta em pm.

b) Qual é a distância d entre átomos adjacentes na superfície do cristal? Resposta em nm.

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos utilizar a relação de de Broglie para determinar o comprimento de onda dos elétrons e a equação de Bragg para encontrar a distância entre os átomos do cristal.

### Parte (a)

Primeiro, vamos determinar o comprimento de onda $\lambda$ dos elétrons usando a relação de de Broglie:

$$ \lambda = \frac{h}{p} $$

onde $h$ é a constante de Planck ($6.626 \times 10^{-34} \ \text{Js}$) e $p$ é o momento do elétron. O momento $p$ pode ser relacionado à energia cinética $K$ através da seguinte relação:

$$ K = \frac{p^2}{2m} $$

onde $m$ é a massa do elétron ($9.109 \times 10^{-31} \ \text{kg}$). Rearranjando para $p$:

$$ p = \sqrt{2mK} $$

Dado que a energia cinética $K$ é fornecida em elétron-volts (eV), devemos converter essa energia para joules (J):

$$ K = 103 \ \text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \ \text{J/eV} = 1.65006 \times 10^{-17} \ \text{J} $$

Agora podemos calcular o momento $p$:

$$ p = \sqrt{2 \times 9.109 \times 10^{-31} \ \text{kg} \times 1.65006 \times 10^{-17} \ \text{J}} $$
$$ p \approx 5.497 \times 10^{-24} \ \text{kg m/s} $$

Finalmente, calculamos o comprimento de onda $\lambda$:

$$ \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ \text{Js}}{5.497 \times 10^{-24} \ \text{kg m/s}} $$
$$ \lambda \approx 1.205 \times 10^{-10} \ \text{m} $$

Convertendo para picômetros (pm):

$$ \lambda \approx 120.5 \ \text{pm} $$

### Parte (b)

Para determinar a distância $d$ entre átomos adjacentes na superfície do cristal, usamos a equação de Bragg:

$$ n\lambda = 2d\sin\theta $$

Dado que $n = 2$ e $\theta_2 = 37^\circ$:

$$ 2 \times 120.5 \ \text{pm} = 2d \sin(37^\circ) $$

Resolvendo para $d$:

$$ d = \frac{2 \times 120.5 \ \text{pm}}{2 \sin(37^\circ)} $$
$$ d = \frac{120.5 \ \text{pm}}{\sin(37^\circ)} $$

Calculando $\sin(37^\circ)$:

$$ \sin(37^\circ) \approx 0.6018 $$

Portanto:

$$ d \approx \frac{120.5 \ \text{pm}}{0.6018} $$
$$ d \approx 200.2 \ \text{pm} $$

Convertendo para nanômetros (nm):

$$ d \approx 0.2002 \ \text{nm} $$

### Respostas

(a) O comprimento de onda $\lambda$ de um elétron do feixe é aproximadamente $120.5 \ \text{pm}$.

(b) A distância $d$ entre átomos adjacentes na superfície do cristal é aproximadamente $0.2002 \ \text{nm}$.

Um feixe de elétrons com energia cinética K=103eV incide pe...

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