É possível que um múon seja capturado por um próton formando um átomo muônico. Um múon é idêntico a um elétron exceto por sua massa, que é de 105,7MeV/c2. Calcule o raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico e o módulo de sua energia. Qual é, na série de Lyman desse átomo, o comprimento de onda mais longo?

Question

Accepted Answer

Para calcular o raio da primeira órbita de Bohr para um átomo muônico, usamos a fórmula do raio de Bohr, mas modificamos a massa do elétron pela do múon. A fórmula para o raio de Bohr é dada por:

$$ r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{Zke^2m} $$

onde:
- $n$ é o número quântico principal (para a primeira órbita, $n = 1$),
- $\hbar$ é a constante de Planck reduzida ($\approx 1,0545718 \times 10^{-34}$ m$^2$kg/s),
- $Z$ é o número atômico (para um próton, $Z = 1$),
- $k$ é a constante de Coulomb ($8,9875517873681764 \times 10^9$ Nm$^2$/C$^2$),
- $e$ é a carga do elétron ($1,602176634 \times 10^{-19}$ C),
- $m$ é a massa da partícula, que no caso do múon é $105,7 \text{ MeV/c}^2$. Para converter para kg, usamos a relação $1 \text{ MeV/c}^2 = 1,78266192 \times 10^{-30}$ kg, então a massa do múon é $105,7 \times 1,78266192 \times 10^{-30}$ kg.

Substituindo os valores conhecidos:

$$ m_{\mu} = 105,7 \times 1,78266192 \times 10^{-30} \text{ kg} $$

$$ m_{\mu} \approx 188,4 \times 10^{-30} \text{ kg} $$

Agora, substituindo os valores na fórmula do raio de Bohr:

$$ r_1 = \frac{1^2 \times (1,0545718 \times 10^{-34})^2}{1 \times (8,9875517873681764 \times 10^9) \times (1,602176634 \times 10^{-19})^2 \times 188,4 \times 10^{-30}} $$

$$ r_1 \approx \frac{1,112 \times 10^{-68}}{4,57 \times 10^{-14} \times 188,4 \times 10^{-30}} $$

$$ r_1 \approx \frac{1,112 \times 10^{-68}}{8,62 \times 10^{-44}} $$

$$ r_1 \approx 1,29 \times 10^{-25} / 8,62 \times 10^{-44} $$

$$ r_1 \approx 1,49 \times 10^{-12} \text{ m} $$

Para calcular o módulo da energia do estado fundamental, usamos a fórmula da energia de Bohr:

$$ E_n = -\frac{Z^2 k^2 e^4 m}{2 \hbar^2 n^2} $$

Substituindo $n = 1$, $Z = 1$, e a massa do múon:

$$ E_1 = -\frac{(8,9875517873681764 \times 10^9)^2 \times (1,602176634 \times 10^{-19})^4 \times 188,4 \times 10^{-30}}{2 \times (1,0545718 \times 10^{-34})^2} $$

$$ E_1 \approx -\frac{2,56 \times 10^{38} \times 6,56 \times 10^{-76}}{2,22 \times 10^{-68}} $$

$$ E_1 \approx -\frac{1,68 \times 10^{-37}}{2,22 \times 10^{-68}} $$

$$ E_1 \approx -7,57 \times 10^{-13} \text{ J} $$

Para converter para elétron-volts, usamos a relação $1 \text{ J} = 6,242 \times 10^{18} \text{ eV}$:

$$ E_1 \approx -7,57 \times 10^{-13} \times 6,242 \times 10^{18} \text{ eV} $$

$$ E_1 \approx -4,73 \times 10^{6} \text{ eV} $$

$$ E_1 \approx -4,73 \text{ MeV} $$

Finalmente, para encontrar o comprimento de onda mais longo na série de Lyman desse átomo, usamos a fórmula de Rydberg para átomos muônicos, considerando a transição de $n = 2$ para $n = 1$:

$$ \frac{1}{\lambda} = R_{\mu} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) $$

Onde $R_{\mu}$ é a constante de Rydberg para átomos muônicos. Para o múon, a constante de Rydberg é ajustada pela razão das massas entre o múon e o elétron:

$$ R_{\mu} = R_{H} \frac{m_{\mu}}{m_{e}} $$

Dado que $R_{H} \approx 1,097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ e $m_{e} = 9,10938356 \times 10^{-31} \text{ kg}$, a razão das massas é $\frac{188,4 \times 10^{-30}}{9,10938356 \times 10^{-31}} \approx 206,768$. Assim,

$$ R_{\mu} \approx 1,097 \times 10^7 \times 206,768 $$

$$ R_{\mu} \approx 2,27 \times 10^{9} \text{ m}^{-1} $$

Substituindo em nossa equação de Rydberg:

$$ \frac{1}{\lambda} = 2,27 \times 10^{9} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) $$

$$ \frac{1}{\lambda} = 2,27 \times 10^{9} \times \frac{3}{4} $$

$$ \frac{1}{\lambda} \approx 1,70 \times 10^{9} \text{ m}^{-1} $$

$$ \lambda \approx \frac{1}{1,70 \times 10^{9}} $$

$$ \lambda \approx 5,88 \times 10^{-10} \text{ m} $$

$$ \lambda \approx 588 \text{ nm} $$

Portanto, o raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico é aproximadamente $1,49 \times 10^{-12}$ m, a energia é aproximadamente $-4,73 \text{ MeV}$, e o comprimento de onda mais longo na série de Lyman para esse átomo é aproximadamente $588 \text{ nm}$.

É possível que um múon seja capturado por um próton formando...

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