Seja S o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1 e F(x,y,z) = (2x - z, x^2y, x^2). Determine o fluxo do campo vetorial F sobre o cubo. Dica: Use o teorema de Gauss (teorema da divergencia).

Q: Seja S o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1 e F(x,y,z) = (2x - z, x^2y, x^2). Determine o fluxo do campo vetorial F sobre o cubo. Dica: Use o teorema de Gauss (teorema da divergencia).

Para determinar o fluxo do campo vetorial $ \mathbf{F}(x,y,z) = (2x - z, x^2 y, xz^2) $ sobre o cubo $ S $ usando o teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência de $ \mathbf{F} $. A divergência de $ \mathbf{F} $ é dada por: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - z) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial z}(xz^2) \] Calculando cada termo: 1. $\frac{\partial}{\partial x}(2x - z) = 2$ 2. $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2$ 3. $\frac{\partial}{\partial z}(xz^2) = 2xz$ Portanto, a divergência é: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = 2 + x^2 + 2xz \] Agora, integramos essa divergência sobre o volume do cubo $ S $, que é delimitado por $ 0 \leq x \leq 1 $, $ 0 \leq y \leq 1 $, $ 0 \leq z \leq 1 $: \[ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (2 + x^2 + 2xz) \, dx \, dy \, dz \] Separando a integral: \[ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 2 \, dx \, dy \, dz + \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 x^2 \, dx \, dy \, dz + \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 2xz \, dx \, dy \, dz \] Calculando cada termo: 1. $\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 2 \, dx \, dy \, dz = 2$ 2. $\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 x^2 \, dx \, dy \, dz = \frac{1}{3}$ 3. $\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 2xz \, dx \, dy \, dz = \frac{1}{2}$ Somando os resultados: \[ 2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{12}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{17}{6} \] **Resposta: A** O fluxo do campo vetorial sobre o cubo é $ \frac{17}{6} $.

Question

Accepted Answer

Para determinar o fluxo do campo vetorial $ \mathbf{F}(x,y,z) = (2x - z, x^2 y, xz^2) $ sobre o cubo $ S $ usando o teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência de $ \mathbf{F} $.

A divergência de $ \mathbf{F} $ é dada por:

$$
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - z) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial z}(xz^2)
$$

Calculando cada termo:

1. $\frac{\partial}{\partial x}(2x - z) = 2$
2. $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2$
3. $\frac{\partial}{\partial z}(xz^2) = 2xz$

Portanto, a divergência é:

$$
\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 + x^2 + 2xz
$$

Agora, integramos essa divergência sobre o volume do cubo $ S $, que é delimitado por $ 0 \leq x \leq 1 $, $ 0 \leq y \leq 1 $, $ 0 \leq z \leq 1 $:

$$
\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (2 + x^2 + 2xz) \, dx \, dy \, dz
$$

Separando a integral:

$$
\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 2 \, dx \, dy \, dz + \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 x^2 \, dx \, dy \, dz + \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 2xz \, dx \, dy \, dz
$$

Calculando cada termo:

1. $\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 2 \, dx \, dy \, dz = 2$
2. $\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 x^2 \, dx \, dy \, dz = \frac{1}{3}$
3. $\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 2xz \, dx \, dy \, dz = \frac{1}{2}$

Somando os resultados:

$$
2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{12}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{17}{6}
$$

**Resposta: A**

O fluxo do campo vetorial sobre o cubo é $ \frac{17}{6} $.

Seja S o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y =...

Seja S o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1 e F(x,y,z) = (2x - z, x^2y, x^2). Determine o fluxo do campo vetorial F sobre o cubo. Dica: Use o teorema de Gauss (teorema da divergencia).

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