11. Escreva as equações reduzidas das parábolas com vértice na origem, dados
a) o foco (8,0);
b) a diretriz y = 2;
c) o eixo de simetria Ox e passa pelo o ponto (5,10);
d) dois pontos da parábola, (6,18) e (-6,18);
e) um ponto da diretriz, (4,7), e o eixo de simetria Ox.

12. Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados respectivamente por
a) (2,3) e x = 0;
b) (3,1) e y + 3 = 0;
c) (-4,-2) e 2x + y = 3.

Question

11. Escreva as equações reduzidas das parábolas com vértice na origem, dados
a) o foco (8,0);
b) a diretriz y = 2;
c) o eixo de simetria Ox e passa pelo o ponto (5,10);
d) dois pontos da parábola, (6,18) e (-6,18);
e) um ponto da diretriz, (4,7), e o eixo de simetria Ox.

12. Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados respectivamente por
a) (2,3) e x = 0;
b) (3,1) e y + 3 = 0;
c) (-4,-2) e 2x + y = 3.

Accepted Answer

Vamos resolver os problemas detalhadamente.

### Problema 11

Para cada item, precisamos encontrar a equação reduzida da parábola com vértice na origem.

#### a) Foco (8, 0)

A distância do vértice ao foco é $ p = 8 $. A equação de uma parábola com vértice na origem e foco em $ (p, 0) $ é:

$$
y^2 = 4px
$$

Substituindo $ p = 8 $:

$$
y^2 = 32x
$$

#### b) Diretriz $ y = 2 $

A distância do vértice à diretriz é $ p = -2 $ (pois a diretriz está acima do vértice). A equação de uma parábola com vértice na origem e diretriz $ y = -p $ é:

$$
y^2 = -4px
$$

Substituindo $ p = 2 $:

$$
y^2 = -8x
$$

#### c) Eixo de simetria $ Ox $ e passa pelo ponto (5, 10)

Como o eixo é $ Ox $, a equação tem a forma $ y^2 = 4px $. Substituímos o ponto para encontrar $ p $:

$$
10^2 = 4p \cdot 5 \implies 100 = 20p \implies p = 5
$$

Então a equação é:

$$
y^2 = 20x
$$

#### d) Dois pontos da parábola, $ (6, 18) $ e $ (-6, 18) $

Os pontos têm a mesma coordenada $ y $, então a parábola é horizontal e simétrica em relação ao eixo $ x $. A equação é da forma $ y^2 = 4px $.

Usamos um dos pontos para encontrar $ p $:

$$
18^2 = 4p \cdot 6 \implies 324 = 24p \implies p = 13.5
$$

Então a equação é:

$$
y^2 = 54x
$$

#### e) Um ponto da diretriz, $ (4, 7) $, e o eixo de simetria $ Ox $

Se o eixo é $ Ox $, a equação é da forma $ y^2 = 4px $. A diretriz está a $ p $ unidades do vértice, então $ x = -p $ para a diretriz.

Como a diretriz passa por $ (4, 7) $, temos:

$$
7^2 = 4p \cdot 4 \implies 49 = 16p \implies p = 3.0625
$$

Então a equação é:

$$
y^2 = 12.25x
$$

### Problema 12

Encontrar as equações das parábolas dadas focos e diretrizes.

#### a) Foco (2, 3) e $ x = 0 $

A equação é $ (y-k)^2 = 4p(x-h) $.

O vértice está no meio entre o foco e a diretriz, então $ h = 1 $ e $ k = 3 $, $ p = 1 $.

Equação:

$$
(y-3)^2 = 4(x-1)
$$

#### b) Foco (3, 1) e $ y + 3 = 0 $

A equação é $ (x-h)^2 = 4p(y-k) $.

O vértice está no meio entre o foco e a diretriz, então $ h = 3 $ e $ k = -1 $, $ p = 2 $.

Equação:

$$
(x-3)^2 = 8(y+1)
$$

#### c) Foco (-4, -2) e $ 2x + y = 3 $

A equação é $ (x-h)^2 = 4p(y-k) $.

A diretriz é $ y = -2x + 3 $. Encontramos o vértice resolvendo o sistema:

$$ 
\begin{cases} 
x = \frac{-4 + (-2)}{2} = -3 \
y = \frac{-2 + 3}{2} = 0.5 
\end{cases}
$$

Distância $ p $ é a distância entre o foco e a diretriz: $ p = 2.5 $.

Equação:

$$
(x+3)^2 = 10(y-0.5)
$$

Essas são as soluções detalhadas para os problemas dados.

11. Escreva as equações reduzidas das parábolas com vértice ...

Ask a question and receive an answer instantly