Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, dado que:

a) A(-4, 1, 1), B(1, 0, 1) e C(0, -1, 3);

b) A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0).

Question

Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, dado que:

a) A(-4, 1, 1), B(1, 0, 1) e C(0, -1, 3);

b) A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0).

Accepted Answer

Para calcular a área do triângulo $ABC$ e a altura relativa ao lado $BC$, podemos usar o produto vetorial para encontrar a área.

### a) Pontos: $A(-4, 1, 1)$, $B(1, 0, 1)$, $C(0, -1, 3)$

1. **Calcular os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$:**

$$
   \overrightarrow{AB} = (1 - (-4), 0 - 1, 1 - 1) = (5, -1, 0)
   $$

$$
   \overrightarrow{AC} = (0 - (-4), -1 - 1, 3 - 1) = (4, -2, 2)
   $$

2. **Produto vetorial $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$:**

$$
   \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   5 & -1 & 0 \
   4 & -2 & 2
   \end{vmatrix}
   = (0, -10, -6)
   $$

3. **Módulo do produto vetorial:**

$$
   |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{0^2 + (-10)^2 + (-6)^2} = \sqrt{136}
   $$

4. **Área do triângulo:**

$$
   \text{Área} = \frac{1}{2} \times \sqrt{136} = \frac{\sqrt{136}}{2}
   $$

5. **Altura relativa ao lado $BC$:**

- Comprimento do lado $BC$:

$$
     BC = \sqrt{(1-0)^2 + (0+1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{11}
     $$

- Altura:

$$
     h = \frac{\text{Área} \times 2}{BC} = \frac{\sqrt{136}}{\sqrt{11}}
     $$

### b) Pontos: $A(4, 2, 1)$, $B(1, 0, 1)$, $C(1, 2, 0)$

1. **Calcular os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$:**

$$
   \overrightarrow{AB} = (1 - 4, 0 - 2, 1 - 1) = (-3, -2, 0)
   $$

$$
   \overrightarrow{AC} = (1 - 4, 2 - 2, 0 - 1) = (-3, 0, -1)
   $$

2. **Produto vetorial $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$:**

$$
   \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   -3 & -2 & 0 \
   -3 & 0 & -1
   \end{vmatrix}
   = (2, -3, -6)
   $$

3. **Módulo do produto vetorial:**

$$
   |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{49} = 7
   $$

4. **Área do triângulo:**

$$
   \text{Área} = \frac{1}{2} \times 7 = \frac{7}{2}
   $$

5. **Altura relativa ao lado $BC$:**

- Comprimento do lado $BC$:

$$
     BC = \sqrt{(1-1)^2 + (0-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5}
     $$

- Altura:

$$
     h = \frac{\text{Área} \times 2}{BC} = \frac{7}{\sqrt{5}}
     $$

Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado...

Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, dado que:

a) A(-4, 1, 1), B(1, 0, 1) e C(0, -1, 3);

b) A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0).

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