Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas.

42) 16x² -9y² -64x -18y +199 =0

Question

Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas.

42) 16x² -9y² -64x -18y +199 =0

Accepted Answer

Para determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas da hipérbole dada:

$$ 16x^2 - 9y^2 - 64x - 18y + 199 = 0 $$

vamos seguir os seguintes passos:

### 1. Colocar a equação na forma padrão

Primeiro, reescrevemos a equação agrupando os termos de $x$ e $y$:

$$ 16x^2 - 64x - 9y^2 - 18y = -199 $$

Agora, completamos o quadrado para os termos de $x$ e $y$.

#### Completando o quadrado para os termos de $x$:

$$ 16(x^2 - 4x) $$
$$ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 $$
$$ 16(x^2 - 4x) = 16((x - 2)^2 - 4) = 16(x - 2)^2 - 64 $$

#### Completando o quadrado para os termos de $y$:

$$ -9(y^2 + 2y) $$
$$ y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 $$
$$ -9(y^2 + 2y) = -9((y + 1)^2 - 1) = -9(y + 1)^2 + 9 $$

Substituímos essas expressões na equação original:

$$ 16(x - 2)^2 - 64 - 9(y + 1)^2 + 9 = -199 $$
$$ 16(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 - 55 = -199 $$
$$ 16(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 = -144 $$

Dividimos ambos os lados por $-144$:

$$ \frac{16(x - 2)^2}{-144} - \frac{9(y + 1)^2}{-144} = 1 $$
$$ \frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{16} = 1 $$

### 2. Equação Reduzida

A equação reduzida da hipérbole é:

$$ \frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{16} = 1 $$

### 3. Centro

O centro da hipérbole é $(h, k)$:

$$ (h, k) = (2, -1) $$

### 4. Vértices

Os vértices são determinados pela distância $a$ do centro ao longo do eixo transversal. Aqui, $a^2 = 9$, então $a = 3$.

Os vértices são:

$$ (h \pm a, k) = (2 \pm 3, -1) $$
$$ (5, -1) \text{ e } (-1, -1) $$

### 5. Focos

Os focos são determinados pela distância $c$ do centro ao longo do eixo transversal, onde $c^2 = a^2 + b^2$. Aqui, $b^2 = 16$, então:

$$ c^2 = 9 + 16 = 25 $$
$$ c = 5 $$

Os focos são:

$$ (h \pm c, k) = (2 \pm 5, -1) $$
$$ (7, -1) \text{ e } (-3, -1) $$

### 6. Excentricidade

A excentricidade $e$ é dada por:

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} $$

### 7. Equações das Assíntotas

As equações das assíntotas para uma hipérbole da forma $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ são:

$$ y - k = \pm \frac{b}{a} (x - h) $$

Aqui, $a = 3$ e $b = 4$:

$$ y + 1 = \pm \frac{4}{3} (x - 2) $$

Portanto, as equações das assíntotas são:

$$ y + 1 = \frac{4}{3}(x - 2) $$
$$ y + 1 = -\frac{4}{3}(x - 2) $$

### Resumo

- **Equação Reduzida:** $\frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{16} = 1$
- **Centro:** $(2, -1)$
- **Vértices:** $(5, -1)$ e $(-1, -1)$
- **Focos:** $(7, -1)$ e $(-3, -1)$
- **Excentricidade:** $e = \frac{5}{3}$
- **Equações das Assíntotas:**
  $$ y + 1 = \frac{4}{3}(x - 2) $$
  $$ y + 1 = -\frac{4}{3}(x - 2) $$

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Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas.

16x² -9y² -64x -18y +199 =0

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