Encontre o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5).

Q: Encontre o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5).

Para encontrar o vértice oposto a $ B $ no paralelogramo $ ABCD $, precisamos utilizar a propriedade dos paralelogramos que afirma que as diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto médio de uma diagonal é igual ao ponto médio da outra diagonal. Vamos determinar o ponto médio da diagonal $ AC $ e igualá-lo ao ponto médio da diagonal $ BD $. 1. Calcule o ponto médio de $ AC $: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{-1 + 5}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = (1, 2) \] 2. Seja $ D(x, y) $ o vértice oposto a $ B $. O ponto médio de $ BD $ também deve ser $ (1, 2) $: \[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) = \left( \frac{4 + x}{2}, \frac{2 + y}{2} \right) = (1, 2) \] 3. Igualando as coordenadas dos pontos médios: \[ \frac{4 + x}{2} = 1 \quad \text{e} \quad \frac{2 + y}{2} = 2 \] Resolva para $ x $: \[ 4 + x = 2 \times 1 \implies 4 + x = 2 \implies x = 2 - 4 \implies x = -2 \] Resolva para $ y $: \[ 2 + y = 2 \times 2 \implies 2 + y = 4 \implies y = 4 - 2 \implies y = 2 \] Portanto, o vértice $ D $ é $ (-2, 2) $.

Question

Accepted Answer

Para encontrar o vértice oposto a $ B $ no paralelogramo $ ABCD $, precisamos utilizar a propriedade dos paralelogramos que afirma que as diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto médio de uma diagonal é igual ao ponto médio da outra diagonal.

Vamos determinar o ponto médio da diagonal $ AC $ e igualá-lo ao ponto médio da diagonal $ BD $.

1. Calcule o ponto médio de $ AC $:

$$
M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{-1 + 5}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = (1, 2)
$$

2. Seja $ D(x, y) $ o vértice oposto a $ B $. O ponto médio de $ BD $ também deve ser $ (1, 2) $:

$$
M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) = \left( \frac{4 + x}{2}, \frac{2 + y}{2} \right) = (1, 2)
$$

3. Igualando as coordenadas dos pontos médios:

$$
\frac{4 + x}{2} = 1 \quad \text{e} \quad \frac{2 + y}{2} = 2
$$

Resolva para $ x $:

$$
4 + x = 2 \times 1 \implies 4 + x = 2 \implies x = 2 - 4 \implies x = -2
$$

Resolva para $ y $:

$$
2 + y = 2 \times 2 \implies 2 + y = 4 \implies y = 4 - 2 \implies y = 2
$$

Portanto, o vértice $ D $ é $ (-2, 2) $.

Encontre o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para A...

Encontre o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5).

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