Os ângulos diretores de um vetor a são 45°, 60° e 120° e |a|=2. Determinar a. Após, faça a representação geométrica do problema

Q: Os ângulos diretores de um vetor a são 45°, 60° e 120° e |a|=2. Determinar a. Após, faça a representação geométrica do problema

Para determinar o vetor $\mathbf{a}$ com os ângulos diretores dados, utilizamos a relação entre o vetor e seus ângulos diretores. Os cossenos diretores são dados por: \[ \cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\mathbf{a}|}, \quad \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\mathbf{a}|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\mathbf{a}|} \] onde $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 60^\circ$ e $\gamma = 120^\circ$. Primeiro, calculamos os cossenos dos ângulos diretores: \[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \] Agora, multiplicamos cada cosseno diretor pelo módulo do vetor $|\mathbf{a}| = 2$ para encontrar as componentes do vetor: \[ a_x = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] \[ a_y = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] \[ a_z = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \] Portanto, o vetor $\mathbf{a}$ é dado por: \[ \mathbf{a} = (\sqrt{2}, 1, -1) \] Para a representação geométrica, podemos visualizar o vetor no espaço tridimensional com suas componentes $a_x = \sqrt{2}$, $a_y = 1$ e $a_z = -1$. Isso corresponde a um ponto no espaço que se desloca $\sqrt{2}$ unidades ao longo do eixo $x$, 1 unidade ao longo do eixo $y$, e -1 unidade ao longo do eixo $z$.

Question

Os ângulos diretores de um vetor a são 45°, 60° e 120° e |a|=2. Determinar a.  Após, faça a representação geométrica do problema

Accepted Answer

Para determinar o vetor $\mathbf{a}$ com os ângulos diretores dados, utilizamos a relação entre o vetor e seus ângulos diretores. Os cossenos diretores são dados por:

$$
\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\mathbf{a}|}, \quad \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\mathbf{a}|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\mathbf{a}|}
$$

onde $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 60^\circ$ e $\gamma = 120^\circ$.

Primeiro, calculamos os cossenos dos ângulos diretores:

$$
\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}
$$

Agora, multiplicamos cada cosseno diretor pelo módulo do vetor $|\mathbf{a}| = 2$ para encontrar as componentes do vetor:

$$
a_x = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
$$
$$
a_y = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
$$
$$
a_z = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1
$$

Portanto, o vetor $\mathbf{a}$ é dado por:

$$
\mathbf{a} = (\sqrt{2}, 1, -1)
$$

Para a representação geométrica, podemos visualizar o vetor no espaço tridimensional com suas componentes $a_x = \sqrt{2}$, $a_y = 1$ e $a_z = -1$. Isso corresponde a um ponto no espaço que se desloca $\sqrt{2}$ unidades ao longo do eixo $x$, 1 unidade ao longo do eixo $y$, e -1 unidade ao longo do eixo $z$.

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Os ângulos diretores de um vetor a são 45°, 60° e 120° e |a|=2. Determinar a. Após, faça a representação geométrica do problema

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