Os pontos médios dos lados de um triângulo são (2, 5), (4, 2), (1, 1). Achar as coordenadas dos três vértices.

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Accepted Answer

Para encontrar as coordenadas dos vértices do triângulo, podemos usar o fato de que o ponto médio de um segmento de reta pode ser encontrado pela média aritmética das coordenadas dos pontos finais desse segmento.

Sejam $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ e $C(x_3, y_3)$ os vértices do triângulo. Os pontos médios dados são então os seguintes:

- Ponto médio de $AB$: $M_{AB}(2, 5)$
- Ponto médio de $BC$: $M_{BC}(4, 2)$
- Ponto médio de $CA$: $M_{CA}(1, 1)$

As fórmulas para encontrar os pontos médios $M(x_m, y_m)$ entre dois pontos $P_1(x_1, y_1)$ e $P_2(x_2, y_2)$ são:
$$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$$
$$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

Podemos então escrever três sistemas de equações, um para cada ponto médio:

1. Para $M_{AB}(2, 5)$:
$$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} = 2$$
$$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} = 5$$

2. Para $M_{BC}(4, 2)$:
$$x_m = \frac{x_2 + x_3}{2} = 4$$
$$y_m = \frac{y_2 + y_3}{2} = 2$$

3. Para $M_{CA}(1, 1)$:
$$x_m = \frac{x_3 + x_1}{2} = 1$$
$$y_m = \frac{y_3 + y_1}{2} = 1$$

Podemos resolver essas equações simultaneamente para encontrar $x_1, y_1, x_2, y_2, x_3,$ e $y_3$. Vamos começar combinando as equações para encontrar os valores de $x_1, x_2,$ e $x_3$ e depois fazer o mesmo para $y_1, y_2,$ e $y_3$.

Para $x$:
$$x_1 + x_2 = 4$$
$$x_2 + x_3 = 8$$
$$x_3 + x_1 = 2$$

Somando todas essas equações, obtemos:
$$2(x_1 + x_2 + x_3) = 14$$
$$x_1 + x_2 + x_3 = 7$$

Substituindo a terceira equação ($x_3 + x_1 = 2$) na soma acima, podemos encontrar $x_2$:
$$x_2 = 7 - 2 = 5$$

Substituindo $x_2 = 5$ na primeira equação:
$$x_1 + 5 = 4 \Rightarrow x_1 = -1$$

Substituindo $x_1 = -1$ na terceira equação:
$$-1 + x_3 = 2 \Rightarrow x_3 = 3$$

Portanto, $x_1 = -1$, $x_2 = 5$, e $x_3 = 3$.

Seguindo um processo similar para $y$:
$$y_1 + y_2 = 10$$
$$y_2 + y_3 = 4$$
$$y_3 + y_1 = 2$$

Somando todas essas equações, obtemos:
$$2(y_1 + y_2 + y_3) = 16$$
$$y_1 + y_2 + y_3 = 8$$

Substituindo a terceira equação ($y_3 + y_1 = 2$) na soma acima, podemos encontrar $y_2$:
$$y_2 = 8 - 2 = 6$$

Substituindo $y_2 = 6$ na primeira equação:
$$y_1 + 6 = 10 \Rightarrow y_1 = 4$$

Substituindo $y_1 = 4$ na terceira equação:
$$4 + y_3 = 2 \Rightarrow y_3 = -2$$

Portanto, $y_1 = 4$, $y_2 = 6$, e $y_3 = -2$.

Juntando os valores de $x$ e $y$, temos as coordenadas dos vértices:
$$A(-1, 4), B(5, 6), C(3, -2)$$

Os pontos médios dos lados de um triângulo são (2, 5), (4, 2...

Os pontos médios dos lados de um triângulo são (2, 5), (4, 2), (1, 1). Achar as coordenadas dos três vértices.

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