Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isosceles cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intersecta os eixos. Se a área desse triângulo é 18, determine a equação da reta r.

Q: Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isosceles cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intersecta os eixos. Se a área desse triângulo é 18, determine a equação da reta r.

Resposta: A equação da reta $ r $ é $ x + y = 12 $. Explicação: 1. **Forma geral da reta**: No sistema de coordenadas, a forma geral para uma reta que corta os eixos $ x $ e $ y $ é $ y = mx + c $. No entanto, para nosso caso, a reta passa pela origem, assim $ c = 0 $ e a reta tem a forma $ y = mx $. 2. **Intersectando os eixos**: Desde que a reta passa pela origem, um dos vértices do triângulo é $ (0,0) $. Além disso, ela cortará o eixo $ x $ em algum ponto $ (a,0) $ e o eixo $ y $ em algum ponto $ (0,b) $. 3. **Área do triângulo**: A fórmula para a área $ A $ de um triângulo, de base $ b $ e altura $ a $, originários dos triângulos formados pelos cortes nos eixos é: \[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times a \times b \] Como $ A = 18 $, temos: \[ \frac{1}{2} \times a \times b = 18 \implies a \times b = 36 \] 4. **Isosceles**: Para o triângulo ser isosceles, os comprimentos $ a $ e $ b $ (das perpendicularidades da origem aos pontos onde a reta corta os eixos) devem ser iguais (ou as distâncias da origem aos pontos de interseção). Portanto $ a = b $. 5. **Solução para $ a $ e $ b $**: \[ a^2 = 36 \implies a = 6 \quad \text{(considerando o primeiro quadrante)} \] Aqui, $ b = a = 6 $. 6. **Equação da reta**: A equação geral da reta em termos dos eixos seria então $ x/a + y/b = 1 $. Simplificando para os nossos valores, temos: \[ x/6 + y/6 = 1 \implies x + y = 12 \] Portanto, a reta que forma um triângulo isosceles com a origem e cuja área é 18 é $ x + y = 12 $.

Question

Accepted Answer

Resposta: A equação da reta $ r $ é $ x + y = 12 $.

Explicação:

1. **Forma geral da reta**: No sistema de coordenadas, a forma geral para uma reta que corta os eixos $ x $ e $ y $ é $ y = mx + c $. No entanto, para nosso caso, a reta passa pela origem, assim $ c = 0 $ e a reta tem a forma $ y = mx $.

2. **Intersectando os eixos**: Desde que a reta passa pela origem, um dos vértices do triângulo é $ (0,0) $. Além disso, ela cortará o eixo $ x $ em algum ponto $ (a,0) $ e o eixo $ y $ em algum ponto $ (0,b) $.

3. **Área do triângulo**: A fórmula para a área $ A $ de um triângulo, de base $ b $ e altura $ a $, originários dos triângulos formados pelos cortes nos eixos é:
   $$
   A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times a \times b
   $$
   Como $ A = 18 $, temos:
   $$
   \frac{1}{2} \times a \times b = 18 \implies a \times b = 36
   $$

4. **Isosceles**: Para o triângulo ser isosceles, os comprimentos $ a $ e $ b $ (das perpendicularidades da origem aos pontos onde a reta corta os eixos) devem ser iguais (ou as distâncias da origem aos pontos de interseção). Portanto $ a = b $.

5. **Solução para $ a $ e $ b $**:
   $$
   a^2 = 36 \implies a = 6 \quad \text{(considerando o primeiro quadrante)}
   $$
   Aqui, $ b = a = 6 $.

6. **Equação da reta**: A equação geral da reta em termos dos eixos seria então $ x/a + y/b = 1 $.
   Simplificando para os nossos valores, temos:
   $$
   x/6 + y/6 = 1 \implies x + y = 12
   $$

Portanto, a reta que forma um triângulo isosceles com a origem e cuja área é 18 é $ x + y = 12 $.

Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesi...

Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isosceles cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intersecta os eixos. Se a área desse triângulo é 18, determine a equação da reta r.

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