Questão 0.3. Sejam P, M e S três pontos não colineares, tais que PM e PS estão contidas no plano α. Sejam KM ⊥ PM, QS ⊥ PS e KM é paralelo a QS, como mostra a figura abaixo.

Com um colega, mostrem que KM ⊥ α e QS ⊥ α.
(Dica: Construam por P uma paralela a KM.)

Q: Questão 0.3. Sejam P, M e S três pontos não colineares, tais que PM e PS estão contidas no plano α. Sejam KM ⊥ PM, QS ⊥ PS e KM é paralelo a QS, como mostra a figura abaixo. Com um colega, mostrem que KM ⊥ α e QS ⊥ α. (Dica: Construam por P uma paralela a KM.)

Para mostrar que $ KM \perp \alpha $ e $ QS \perp \alpha $, podemos seguir os passos abaixo: 1. **Identificar as condições dadas:** - $ PM $ e $ PS $ estão contidas no plano $\alpha$. - $ KM \perp PM $ e $ QS \perp PS $. - $ KM $ é paralelo a $ QS $. 2. **Construir uma paralela por $ P $:** - Construa uma reta $ PR $ passando por $ P $ tal que $ PR \parallel KM $. - Como $ KM \parallel QS $, temos que $ PR \parallel QS $. 3. **Analisar as perpendiculares:** - Como $ KM \perp PM $ e $ PR \parallel KM $, então $ PR \perp PM $. - Como $ QS \perp PS $ e $ PR \parallel QS $, então $ PR \perp PS $. 4. **Concluir sobre o plano:** - Se $ PR $ é perpendicular a duas retas $ PM $ e $ PS $ contidas no plano $\alpha$, então $ PR \perp \alpha $. 5. **Inferir sobre $ KM $ e $ QS $:** - Como $ PR \parallel KM $ e $ PR \perp \alpha $, segue que $ KM \perp \alpha $. - Como $ PR \parallel QS $ e $ PR \perp \alpha $, segue que $ QS \perp \alpha $. Portanto, mostramos que $ KM \perp \alpha $ e $ QS \perp \alpha $.

Question

Questão 0.3. Sejam P, M e S três pontos não colineares, tais que PM e PS estão contidas no plano α. Sejam KM ⊥ PM, QS ⊥ PS e KM é paralelo a QS, como mostra a figura abaixo.

Com um colega, mostrem que KM ⊥ α e QS ⊥ α.
(Dica: Construam por P uma paralela a KM.)

Accepted Answer

Para mostrar que $ KM \perp \alpha $ e $ QS \perp \alpha $, podemos seguir os passos abaixo:

1. **Identificar as condições dadas:**
   - $ PM $ e $ PS $ estão contidas no plano $\alpha$.
   - $ KM \perp PM $ e $ QS \perp PS $.
   - $ KM $ é paralelo a $ QS $.

2. **Construir uma paralela por $ P $:**
   - Construa uma reta $ PR $ passando por $ P $ tal que $ PR \parallel KM $.
   - Como $ KM \parallel QS $, temos que $ PR \parallel QS $.

3. **Analisar as perpendiculares:**
   - Como $ KM \perp PM $ e $ PR \parallel KM $, então $ PR \perp PM $.
   - Como $ QS \perp PS $ e $ PR \parallel QS $, então $ PR \perp PS $.

4. **Concluir sobre o plano:**
   - Se $ PR $ é perpendicular a duas retas $ PM $ e $ PS $ contidas no plano $\alpha$, então $ PR \perp \alpha $.

5. **Inferir sobre $ KM $ e $ QS $:**
   - Como $ PR \parallel KM $ e $ PR \perp \alpha $, segue que $ KM \perp \alpha $.
   - Como $ PR \parallel QS $ e $ PR \perp \alpha $, segue que $ QS \perp \alpha $.

Portanto, mostramos que $ KM \perp \alpha $ e $ QS \perp \alpha $.

Questão 0.3. Sejam P, M e S três pontos não colineares, tais que PM e PS estão contidas no plano α. Sejam KM ⊥ PM, QS ⊥ PS e KM é paralelo a QS, como mostra a figura abaixo. Com um colega, mostrem que KM ⊥ α e QS ⊥ α. (Dica: Construam por P uma paralela a KM.)

Sejam P, Me S três pontos não colineares, tais que PM e PS estão contidas no plano a. Sejam KM 1PM, QS 1 PS eKMé paralelo a QS, como mostra a figura abaixo. Com um colega, mostrem que KM la e QS 1α. (Dica: Construam por P uma paralela à KM.)

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