Um prisma reto tem por base um hexágono regular. Qual é o lado do hexágono, a altura do prisma e a superfície total, sabendo que o volume é de 4 m3 e a superfície lateral de 12 m2

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar as informações fornecidas: volume do prisma, superfície lateral e a base hexagonal regular.

1. **Volume do Prisma**:
   O volume de um prisma é dado pela fórmula:
   $$
   V = A_{\text{base}} \cdot h
   $$
   onde $A_{\text{base}}$ é a área da base e $h$ é a altura do prisma.

2. **Área da Base (Hexágono Regular)**:
   A área de um hexágono regular pode ser calculada pela fórmula:
   $$
   A_{\text{base}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2
   $$
   onde $l$ é o comprimento do lado do hexágono.

3. **Superfície Lateral**:
   A superfície lateral de um prisma é dada por:
   $$
   S_{\text{lateral}} = P_{\text{base}} \cdot h
   $$
   onde $P_{\text{base}}$ é o perímetro da base e $h$ é a altura do prisma.

Para um hexágono regular, o perímetro é:
   $$
   P_{\text{base}} = 6 \cdot l
   $$

Agora, usando as informações fornecidas:

- Volume $V = 4 \, \text{m}^3$
- Superfície lateral $S_{\text{lateral}} = 12 \, \text{m}^2$

Vamos substituir na fórmula da superfície lateral para encontrar a altura $h$:
$$
S_{\text{lateral}} = P_{\text{base}} \cdot h \implies 12 = 6l \cdot h \implies h = \frac{12}{6l} \implies h = \frac{2}{l}
$$

Agora, substituímos na fórmula do volume para encontrar o lado $l$:
$$
V = A_{\text{base}} \cdot h \implies 4 = \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} l^2 \right) \cdot \frac{2}{l} \implies 4 = 3\sqrt{3} \cdot l
$$
$$
l = \frac{4}{3\sqrt{3}} \implies l = \frac{4\sqrt{3}}{9}
$$

Com $l$ encontrado, podemos calcular a altura $h$:
$$
h = \frac{2}{l} \implies h = \frac{2}{\frac{4\sqrt{3}}{9}} \implies h = \frac{18}{4\sqrt{3}} \implies h = \frac{9\sqrt{3}}{2}
$$

Finalmente, calculamos a superfície total:
$$
S_{\text{total}} = 2A_{\text{base}} + S_{\text{lateral}}
$$
$$
A_{\text{base}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{4\sqrt{3}}{9}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{48}{81} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16}{27} = \frac{8\sqrt{3}}{9}
$$
$$
S_{\text{total}} = 2 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{9} + 12 = \frac{16\sqrt{3}}{9} + 12
$$

Portanto, os valores são:
- Lado do hexágono $l = \frac{4\sqrt{3}}{9}$ metros
- Altura do prisma $h = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ metros
- Superfície total $S_{\text{total}} = \frac{16\sqrt{3}}{9} + 12$ metros quadrados

Um prisma reto tem por base um hexágono regular. Qual é o la...

Um prisma reto tem por base um hexágono regular. Qual é o lado do hexágono, a altura do prisma e a superfície total, sabendo que o volume é de 4 m3 e a superfície lateral de 12 m2

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