Uma galeria de águas pluviais de seção retangular escoa uma certa vazão, em
escoamento uniforme, com uma largura de fundo igual a 0,90 m e altura d’água de 0,70 m.
Em uma determinada seção, deverá haver uma mudança na geometria, passando para uma
seção circular. Determine o diâmetro da seção circular para transportar a mesma vazão,
com a mesma altura d’água, rugosidade e declividade de fundo.

Question

Uma galeria de águas pluviais de seção retangular escoa uma certa vazão, em
escoamento uniforme, com uma largura de fundo igual a 0,90 m e altura d’água de 0,70 m.
Em uma determinada seção, deverá haver uma mudança na geometria, passando para uma
seção circular. Determine o diâmetro da seção circular para transportar a mesma vazão,
com a mesma altura d’água, rugosidade e declividade de fundo.

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos garantir que a vazão na seção retangular seja igual à vazão na seção circular. A vazão $ Q $ é dada pela fórmula de Manning:

$$
Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S^{1/2}
$$

onde:
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning,
- $ A $ é a área da seção transversal,
- $ R $ é o raio hidráulico,
- $ S $ é a declividade de fundo.

### Seção Retangular

Para a seção retangular:
- Largura ($ b $) = 0,90 m
- Altura d’água ($ h $) = 0,70 m

A área da seção transversal $ A_{\text{ret}} $ é:

$$
A_{\text{ret}} = b \times h = 0,90 \times 0,70 = 0,63 \, \text{m}^2
$$

O perímetro molhado $ P_{\text{ret}} $ é:

$$
P_{\text{ret}} = b + 2h = 0,90 + 2 \times 0,70 = 2,30 \, \text{m}
$$

O raio hidráulico $ R_{\text{ret}} $ é:

$$
R_{\text{ret}} = \frac{A_{\text{ret}}}{P_{\text{ret}}} = \frac{0,63}{2,30} \approx 0,274 \, \text{m}
$$

### Seção Circular

Para a seção circular, queremos encontrar o diâmetro $ D $ tal que a altura d’água seja 0,70 m. A área da seção molhada $ A_{\text{circ}} $ e o perímetro molhado $ P_{\text{circ}} $ dependem do ângulo central $\theta$, que pode ser encontrado considerando a altura da água.

A relação entre o ângulo central $\theta$ e a altura da água $ h $ em um círculo é:

$$
h = \frac{D}{2} (1 - \cos(\theta/2))
$$

Para a área da seção molhada $ A_{\text{circ}} $:

$$
A_{\text{circ}} = \frac{D^2}{8} (\theta - \sin(\theta))
$$

E para o perímetro molhado $ P_{\text{circ}} $:

$$
P_{\text{circ}} = \frac{D \theta}{2}
$$

O raio hidráulico $ R_{\text{circ}} $ é:

$$
R_{\text{circ}} = \frac{A_{\text{circ}}}{P_{\text{circ}}}
$$

### Igualando as vazões

Como a vazão deve ser a mesma:

$$
\frac{1}{n} A_{\text{ret}} R_{\text{ret}}^{2/3} S^{1/2} = \frac{1}{n} A_{\text{circ}} R_{\text{circ}}^{2/3} S^{1/2}
$$

Cancelando os termos comuns e rearranjando:

$$
A_{\text{ret}} R_{\text{ret}}^{2/3} = A_{\text{circ}} R_{\text{circ}}^{2/3}
$$

Substituindo as expressões de $ A_{\text{circ}} $ e $ R_{\text{circ}} $ e resolvendo numericamente para $ D $, você encontrará o diâmetro necessário para a seção circular. Este cálculo pode exigir iteração numérica ou uso de software para encontrar $ D $.

Uma galeria de águas pluviais de seção retangular escoa uma ...

Ask a question and receive an answer instantly