A regra de L'Hospital é uma regra utilizada para calcular de forma mais simples limites que são indeterminações do tipo 0 divido por 0 ou infinito dividido por infinito; essa regra consiste em derivar o numerador e denominador de uma fração separadamente até que o limite seja possível de calcular. Utilizando a Regra de L'Hospital, temos que

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Para aplicar a regra de L'Hospital, precisamos de um limite que resulte em uma forma indeterminada, como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $. A regra afirma que, se essas condições são satisfeitas, podemos calcular o limite da fração original derivando o numerador e o denominador separadamente.

Seja $ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} $, onde $ f(c) = 0 $ e $ g(c) = 0 $, ou ambos tendem ao infinito.

A regra de L'Hospital diz que:

$$
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$

desde que o limite do lado direito exista ou seja infinito.

**Exemplo:**

Calcule o limite:

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$

Substituindo $ x = 0 $, temos:

$$
\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}
$$

Forma indeterminada. Aplicando a regra de L'Hospital:

1. Derive o numerador: $ f'(x) = \cos x $
2. Derive o denominador: $ g'(x) = 1 $

Agora, calcule o novo limite:

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1
$$

Portanto,

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

Esse é um exemplo de como a regra de L'Hospital pode ser aplicada para resolver limites que inicialmente apresentam formas indeterminadas.

A regra de L'Hospital é uma regra utilizada para calcular de...

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