Um retângulo foi dividido em três regiões de mesma área. Uma das regiões é umtriângulo equilátero com 4 cm de lado, e as outras regiões são trapézios, comomostrado. Qual é a medida da base menor dos trapézios?(A)raiz 2 cm (B)raiz 3 cm (C) 2 raiz 2 cm (D) 3 cm (E) 2 raiz 3 cm

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, primeiro precisamos calcular a área do triângulo equilátero e usar essa informação para encontrar a medida da base menor dos trapézios, sabendo que as três regiões têm áreas iguais.

### Área do Triângulo Equilátero

A fórmula para a área de um triângulo equilátero com lado $l$ é:

$$
A_{triângulo} = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2
$$

Dado que $l = 4$ cm, substituímos na fórmula:

$$
A_{triângulo} = \frac{\sqrt{3}}{4}(4)^2 = \sqrt{3} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2
$$

### Área dos Trapézios

Como a área do triângulo equilátero é $4\sqrt{3}$ cm$^2$ e cada uma das três regiões tem a mesma área, a área total do retângulo é $3 \times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ cm$^2$.

### Base Menor dos Trapézios

Observando a geometria do problema, podemos perceber que a base maior dos trapézios é igual ao lado do triângulo equilátero ($4$ cm), e a altura dos trapézios é igual à altura do triângulo equilátero. A altura $h$ do triângulo equilátero pode ser calculada por:

$$
h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
$$

Sabendo que a área de um trapézio é dada por $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$, onde $B$ é a base maior, $b$ é a base menor, e $h$ é a altura, e que a área de um dos trapézios é $4\sqrt{3}$ cm$^2$, podemos substituir os valores conhecidos para encontrar a base menor $b$:

$$
4\sqrt{3} = \frac{(4 + b) \cdot 2\sqrt{3}}{2}
$$

Simplificando a equação:

$$
4\sqrt{3} = (4 + b)\sqrt{3}
$$

Dividindo ambos os lados por $\sqrt{3}$:

$$
4 = 4 + b
$$

Parece que houve um erro no passo de simplificação. Vamos corrigir isso. Ao resolver para $b$, devemos isolar $b$ corretamente:

$$
4\sqrt{3} = \frac{(4 + b) \cdot 2\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 4\sqrt{3} = (4 + b)\sqrt{3}
$$

Neste ponto, percebemos que o erro ocorreu na interpretação da equação. Para esclarecer, a equação correta para a área do trapézio é:

$$
4\sqrt{3} = \frac{(4 + b) \cdot 2\sqrt{3}}{2}
$$

Simplificando corretamente, temos:

$$
8\sqrt{3} = (4 + b) \cdot 2\sqrt{3}
$$

Dividindo ambos os lados por $2\sqrt{3}$:

$$
4 = 4 + b
$$

Este passo está incorreto porque a simplificação foi mal interpretada. O correto seria dividir a área do trapézio pela altura para encontrar a soma das bases e depois proceder. Vamos corrigir o raciocínio:

Considerando a área do trapézio $4\sqrt{3}$ e a fórmula correta $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$, aplicamos os valores conhecidos:

$$
4\sqrt{3} = \frac{(4 + b) \cdot 2\sqrt{3}}{2}
$$

Simplificando a expressão:

$$
4\sqrt{3} = (4 + b)\sqrt{3}
$$

Dividindo ambos os lados por $\sqrt{3}$, obtemos:

$$
4 = 4 + b
$$

Isso indica que minha abordagem anterior estava equivocada. Ao invés disso, deveríamos ter calculado diretamente a base menor $b$ considerando a área do trapézio e sua relação com a altura e as bases. Vamos corrigir e simplificar corretamente:

Se a área de cada região é $4\sqrt{3}$ cm$^2$ e a área do trapézio é dada por $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$, precisamos primeiro encontrar $h$ e $B$ corretamente, e então resolver para $b$. A confusão veio na aplicação dessa fórmula e na interpretação das dimensões do problema.

A altura já foi encontrada como $2\sqrt{3}$ cm. A base maior $B$ é $4$ cm, como o lado do triângulo. Assumindo que essas informações são usadas para calcular a área de cada parte, a verdadeira abordagem seria dividir a área total pelo número de partes ou usar diretamente a área de uma das partes para encontrar as dimensões desconhecidas.

No entanto, percebe-se que o cálculo direto da base menor $b$ a partir da área de um trapézio e a altura conhecida foi mal interpretado. Precisamos reavaliar a área do trapézio e sua relação com as bases e a altura para encontrar a resposta correta sem confusão adicional.

Para corrigir e concluir: a pergunta pedia a base menor dos trapézios sem necessidade de um cálculo complexo baseado em erro. A base menor $b$ é, na verdade, parte do lado do triângulo equilátero e não foi diretamente calculada aqui devido a uma série de interpretações equivocadas. A base menor deve ser derivada de informações geométricas adicionais ou corrigindo a abordagem matemática.

Reavaliando a situação e corrigindo o erro de cálculo, a verdadeira solução requer entender que a base menor dos trapézios, neste contexto, não foi claramente definida através dos cálculos apresentados. A descrição inicial sugeria uma abordagem que envolve a igualdade das áreas, mas a execução levou a confusões.

Para uma solução precisa, considere a geometria do problema e as propriedades de um triângulo equilátero e trapézios adjacentes. Sem a informação exata sobre a disposição e as dimensões totais do retângulo, a questão de encontrar a base menor dos trapézios através do cálculo apresentado foi mal conduzida.

A resposta correta requer uma revisão completa da abordagem, focando na relação entre as áreas e as dimensões conhecidas do triângulo e dos trapézios. Sem mais informações ou uma representação clara do problema, a solução exata para a base menor dos trapézios permanece não resolvida aqui.

Um retângulo foi dividido em três regiões de mesma área. Uma...

Um retângulo foi dividido em três regiões de mesma área. Uma das regiões é umtriângulo equilátero com 4 cm de lado, e as outras regiões são trapézios, comomostrado. Qual é a medida da base menor dos trapézios?(A)raiz 2 cm (B)raiz 3 cm (C) 2 raiz 2 cm (D) 3 cm (E) 2 raiz 3 cm

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