Considere que a expressão H(t) = P0 .30, 025t fornece o número H de habitantes de uma determinada região, em função do tempo t em anos.
Determine resolvendo passo a passo cada atividade dada a seguir:
a) Se a população inicial P0 é exatamente 80 000 habitantes, determine a população daqui a 50 anos.
b) Se a população inicial P0 é exatamente 20 000 habitantes, determine o tempo em anos para que a população seja igual a 540 000.
c) Se a população final H(t) é exatamente 1 000 000 habitantes, determine a população inicial P0 se t = 120 anos.

Question

Considere que a expressão H(t) = P0 .30, 025t   fornece o número H de habitantes de uma determinada região, em função do tempo t em anos. 
Determine resolvendo passo a passo cada atividade dada a seguir:
a) Se a população inicial P0 é exatamente 80 000 habitantes, determine a população daqui a 50 anos.
b) Se a população inicial P0 é exatamente 20 000 habitantes, determine o tempo em anos para que a população seja igual a 540 000.
c) Se a população final H(t) é exatamente 1 000 000 habitantes, determine a população inicial P0 se t = 120 anos.

Accepted Answer

**Resposta:**

a) A população daqui a 50 anos será de 482.587 habitantes.
b) O tempo necessário para que a população de 20.000 habitantes cresça para 540.000 anos é de aproximadamente 265,10 anos.
c) A população inicial, P0, quando H(t) é 1.000.000 e t = 120 anos é de aproximadamente 20.731 habitantes.

**Explicação:**

**a)** Para encontrar a população daqui a 50 anos, devemos substituir $ t = 50 $ e $ P_0 = 80000 $ na fórmula $ H(t) = P_0 \cdot 30^{0,025t} $:
$$
H(50) = 80000 \cdot 30^{0.025 \cdot 50}
$$
Calculamos $ 30^{0.025 \cdot 50} $:
$$
30^{0.025 \cdot 50} = 30^{1.25} \approx 30.246
$$
Então,
$$
H(50) = 80000 \cdot 30.246 \approx 482587
$$

**b)** Para encontrar o tempo necessário para que a população cresça de 20.000 para 540.000, devemos resolver:
$$
540000 = 20000 \cdot 30^{0.025t}
$$
Simplificando, dividimos ambos os lados por 20000:
$$
\frac{540000}{20000} = 30^{0.025t} \rightarrow 27 = 30^{0.025t}
$$
Agora, aplicamos logaritmo (na base 30) para resolver para $ t $:
$$
0.025t = \log_{30}(27)
$$
$$
t = \frac{\log_{30}(27)}{0.025}
$$
Calculamos usando um logaritmo natural ou decimal e as fórmulas de mudança de base:
$$
t = \frac{\log_{10}(27)/\log_{10}(30)}{0.025} \approx 265.10
$$

**c)** Para achar $ P_0 $ quando $ H(t) = 1000000 $ e $ t = 120 $, começamos com:
$$
1000000 = P_0 \cdot 30^{0.025 \cdot 120}
$$
Calculamos $ 30^{0.025 \cdot 120} $:
$$
30^{0.025 \cdot 120} = 30^{3} = 27000
$$
Agora substituímos de volta:
$$
1000000 = P_0 \cdot 27000
$$
Resolvendo para $ P_0 $, obtemos:
$$
P_0 = \frac{1000000}{27000} \approx 20.731
$$

Considere que a expressão H(t) = P0 .30, 025t fornece o nú...

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