3) Um foguete foi lançado de uma plataforma de lançamento e sua altura h, em metros, $ t $ segundos após o seu lançamento é dada pela função $ h(t)=-t^{2}+20 t+300 $. Esse foguete deve atingir um alvo que se encontra ao nível do solo - $ h=0 $.
a) De que altura o foguete foi lançado?
b) Qual a altura do foguete 10 segundos após o lançamento?
c) Após quantos segundos o foguete atingirá o alvo?

Question

3) Um foguete foi lançado de uma plataforma de lançamento e sua altura h, em metros, $ t $ segundos após o seu lançamento é dada pela função $ h(t)=-t^{2}+20 t+300 $. Esse foguete deve atingir um alvo que se encontra ao nível do solo - $ h=0 $.
a) De que altura o foguete foi lançado?
b) Qual a altura do foguete 10 segundos após o lançamento?
c) Após quantos segundos o foguete atingirá o alvo?

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte da questão passo a passo.

### Parte (a)
De que altura o foguete foi lançado?

Para encontrar a altura inicial do foguete, avaliamos a função $ h(t) $ no instante $ t = 0 $:

$$ h(0) = -0^{2} + 20 \cdot 0 + 300 = 300 $$

**Resposta:**
O foguete foi lançado de uma altura de 300 metros.

### Parte (b)
Qual a altura do foguete 10 segundos após o lançamento?

Avaliamos a função $ h(t) $ no instante $ t = 10 $:

$$ h(10) = -10^{2} + 20 \cdot 10 + 300 $$
$$ h(10) = -100 + 200 + 300 $$
$$ h(10) = 400 $$

**Resposta:**
A altura do foguete 10 segundos após o lançamento é de 400 metros.

### Parte (c)
Após quantos segundos o foguete atingirá o alvo?

Precisamos encontrar os valores de $ t $ para os quais $ h(t) = 0 $:

$$ -t^{2} + 20t + 300 = 0 $$

Esta é uma equação quadrática. Podemos resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

onde $ a = -1 $, $ b = 20 $ e $ c = 300 $.

Primeiro, calculamos o discriminante ($ \Delta $):

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
$$ \Delta = 20^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 300 $$
$$ \Delta = 400 + 1200 $$
$$ \Delta = 1600 $$

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

$$ t = \frac{-20 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot (-1)} $$
$$ t = \frac{-20 \pm 40}{-2} $$

Isso nos dá dois valores possíveis para $ t $:

$$ t_1 = \frac{-20 + 40}{-2} = \frac{20}{-2} = -10 $$ (não faz sentido no contexto do problema, pois o tempo não pode ser negativo)

$$ t_2 = \frac{-20 - 40}{-2} = \frac{-60}{-2} = 30 $$

**Resposta:**
O foguete atingirá o alvo 30 segundos após o lançamento.

3) Um foguete foi lançado de uma plataforma de lançamento e ...

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