6. Para saber a que altura um avião está em relação ao solo, medimos, no mesmo instante, o ângulo de elevação em relação à base de um prédio e em relação ao topo desse prédio, como mostra a figura. Sabendo que o prédio tem 48 m de altura, determine a altura aproximada do avião no instante das medições.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar trigonometria. Temos duas situações:

1. O triângulo formado pelo prédio e a linha de visão até o avião com ângulo de 55°.
2. O triângulo formado pela base do prédio e a linha de visão até o avião com ângulo de 40°.

Vamos chamar:
- $ h $ de altura do avião em relação ao solo.
- $ x $ de distância horizontal entre o prédio e o ponto no solo diretamente abaixo do avião.

### Passo 1: Triângulo com ângulo de 55°
No triângulo com ângulo de 55°, temos:
$$ \tan(55°) = \frac{h - 48}{x} $$

### Passo 2: Triângulo com ângulo de 40°
No triângulo com ângulo de 40°, temos:
$$ \tan(40°) = \frac{h}{x} $$

### Resolvendo o sistema
1. Da equação do ângulo de 40°:
   $$ h = x \cdot \tan(40°) $$

2. Substituindo na equação do ângulo de 55°:
   $$ \tan(55°) = \frac{x \cdot \tan(40°) - 48}{x} $$

3. Multiplicando ambos os lados por $ x $:
   $$ x \cdot \tan(55°) = x \cdot \tan(40°) - 48 $$

4. Isolando $ x $:
   $$ x \cdot (\tan(55°) - \tan(40°)) = -48 $$
   $$ x = \frac{-48}{\tan(55°) - \tan(40°)} $$

5. Calculando $ x $:
   - $\tan(55°) \approx 1.4281$
   - $\tan(40°) \approx 0.8391$

$$ x = \frac{-48}{1.4281 - 0.8391} \approx 81.63 $$

6. Calculando $ h $:
   $$ h = 81.63 \cdot \tan(40°) \approx 68.45 $$

Portanto, a altura aproximada do avião é **68,45 metros**.

6. Para saber a que altura um avião está em relação ao solo,...

Ask a question and receive an answer instantly