A figura a seguir mostra três diferentes rotas para sair do ponto A e chegar ao ponto B:
Imagem associada para resolução da questão

Os pontos A e B estão nos vértices de um quadrado. As linhas tracejadas internas ligam pontos médios dos lados do quadrado. Ordene as rotas com base na distância percorrida, da menor para a maior:
Alternativas
A
III, II, I.
B
III, I, II.
C
I, II, III.
D
II, I, III.
E
I, III, II.

Question

A figura a seguir mostra três diferentes rotas para sair do ponto A e chegar ao ponto B:
Imagem associada para resolução da questão

Os pontos A e B estão nos vértices de um quadrado. As linhas tracejadas internas ligam pontos médios dos lados do quadrado. Ordene as rotas com base na distância percorrida, da menor para a maior: 
Alternativas
A
III, II, I. 
B
III, I, II. 
C
I, II, III. 
D
II, I, III. 
E
I, III, II.

Accepted Answer

**Resposta: A**

Para determinar a ordem das rotas com base na distância percorrida, precisamos analisar cada uma delas.

1. **Rota I:** Essa rota segue ao longo dos lados do quadrado, passando pelos pontos médios dos lados. Como o quadrado tem lado $a$, a distância total percorrida é:
   $$
   d_1 = 2a
   $$

2. **Rota II:** Essa rota segue ao longo da diagonal do quadrado. A diagonal de um quadrado de lado $a$ é dada por:
   $$
   d_2 = a\sqrt{2}
   $$

3. **Rota III:** Essa rota segue ao longo dos lados do quadrado, mas passa pelo centro do quadrado, formando dois triângulos retângulos com catetos iguais a metade do lado do quadrado ($\frac{a}{2}$). A hipotenusa desses triângulos é:
   $$
   h = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
   $$
   Então, a distância total percorrida é a soma dos dois segmentos:
   $$
   d_3 = a\sqrt{2}
   $$

Comparando as distâncias:
- $d_2 = a\sqrt{2}$
- $d_3 = a\sqrt{2}$
- $d_1 = 2a$

Assim, as distâncias são iguais para as rotas II e III, e ambas são menores que a distância da rota I.

Logo, a ordem das rotas da menor para a maior distância é:

III, II, I.

A figura a seguir mostra três diferentes rotas para sair do ...

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