Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma cuja a altura mede 15 cm e seus catetos, 9cm e 12cm.

Question

Accepted Answer

Para calcular as áreas e o volume de um prisma reto com base em um triângulo retângulo, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Área da Base:**

A base do prisma é um triângulo retângulo com catetos de 9 cm e 12 cm. A área de um triângulo retângulo é dada por:

$$
A_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times \text{cateto}_1 \times \text{cateto}_2
$$

Substituindo os valores:

$$
A_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = \frac{1}{2} \times 108 = 54 \, \text{cm}^2
$$

2. **Área Lateral:**

A área lateral de um prisma é a soma das áreas dos retângulos que formam suas faces laterais. Como o prisma tem altura de 15 cm, as áreas das três faces laterais são calculadas como:

- Face 1: $9 \, \text{cm} \times 15 \, \text{cm} = 135 \, \text{cm}^2$
- Face 2: $12 \, \text{cm} \times 15 \, \text{cm} = 180 \, \text{cm}^2$
- Face 3 (hipotenusa): Para calcular a hipotenusa, usamos o teorema de Pitágoras:

$$
\text{hipotenusa} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm}
$$

Então, a área da terceira face é:

$$ 
15 \, \text{cm} \times 15 \, \text{cm} = 225 \, \text{cm}^2 
$$

Portanto, a área lateral total é:

$$
A_{\text{lateral}} = 135 + 180 + 225 = 540 \, \text{cm}^2
$$

3. **Área Total:**

A área total do prisma é a soma da área lateral e das duas bases:

$$
A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + 2 \times A_{\text{base}} = 540 + 2 \times 54 = 540 + 108 = 648 \, \text{cm}^2
$$

4. **Volume:**

O volume do prisma é dado pela área da base multiplicada pela altura do prisma:

$$
V = A_{\text{base}} \times \text{altura} = 54 \times 15 = 810 \, \text{cm}^3
$$

Portanto, os resultados são:

- Área da base: $54 \, \text{cm}^2$
- Área lateral: $540 \, \text{cm}^2$
- Área total: $648 \, \text{cm}^2$
- Volume: $810 \, \text{cm}^3$

Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o vol...

Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma cuja a altura mede 15 cm e seus catetos, 9cm e 12cm.

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