Encontre números inteiros a e b que torna a equação 3/a + b/6 = 11/12 verdadeira
N
Niviane
31/05/24

Q: Encontre números inteiros a e b que torna a equação 3/a + b/6 = 11/12 verdadeira

Para encontrar números inteiros $ a $ e $ b $ que satisfazem a equação \[ \frac{3}{a} + \frac{b}{6} = \frac{11}{12}, \] primeiro vamos encontrar um denominador comum para os termos da equação. O menor múltiplo comum entre 6 e 12 é 12. Portanto, podemos reescrever a equação como: \[ \frac{3 \cdot 12}{a \cdot 12} + \frac{b \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{11}{12}. \] Simplificando, obtemos: \[ \frac{36}{12a} + \frac{2b}{12} = \frac{11}{12}. \] Multiplicando ambos os lados da equação por 12 para eliminar o denominador, temos: \[ \frac{36}{a} + 2b = 11. \] Agora, vamos resolver esta equação para encontrar valores inteiros de $ a $ e $ b $. Primeiro, isolamos $ \frac{36}{a} $: \[ \frac{36}{a} = 11 - 2b. \] Para que $ \frac{36}{a} $ seja um número inteiro, $ 11 - 2b $ deve ser um divisor de 36. Vamos verificar os divisores de 36: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36 $. Vamos testar esses valores para $ 11 - 2b $: 1. Se $ 11 - 2b = 1 $: \[ 2b = 10 \implies b = 5. \] \[ a = 36. \] 2. Se $ 11 - 2b = -1 $: \[ 2b = 12 \implies b = 6. \] \[ a = -36. \] 3. Se $ 11 - 2b = 2 $: \[ 2b = 9 \implies b = 4.5 \quad (\text{não é inteiro}). \] 4. Se $ 11 - 2b = -2 $: \[ 2b = 13 \implies b = 6.5 \quad (\text{não é inteiro}). \] 5. Se $ 11 - 2b = 3 $: \[ 2b = 8 \implies b = 4. \] \[ a = 12. \] 6. Se $ 11 - 2b = -3 $: \[ 2b = 14 \implies b = 7. \] \[ a = -12. \] Continuando com outros divisores, encontramos que as combinações viáveis são: - $ a = 36 $ e $ b = 5 $ - $ a = -36 $ e $ b = 6 $ - $ a = 12 $ e $ b = 4 $ - $ a = -12 $ e $ b = 7 $ Portanto, os pares de números inteiros $ (a, b) $ que satisfazem a equação são: \[ (a, b) = (36, 5), (-36, 6), (12, 4), (-12, 7). \]

Question

Encontre números inteiros a e b que torna a equação 3/a + b/6 = 11/12 verdadeira

Accepted Answer

Para encontrar números inteiros $ a $ e $ b $ que satisfazem a equação

$$
\frac{3}{a} + \frac{b}{6} = \frac{11}{12},
$$

primeiro vamos encontrar um denominador comum para os termos da equação. O menor múltiplo comum entre 6 e 12 é 12. Portanto, podemos reescrever a equação como:

$$
\frac{3 \cdot 12}{a \cdot 12} + \frac{b \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{11}{12}.
$$

Simplificando, obtemos:

$$
\frac{36}{12a} + \frac{2b}{12} = \frac{11}{12}.
$$

Multiplicando ambos os lados da equação por 12 para eliminar o denominador, temos:

$$
\frac{36}{a} + 2b = 11.
$$

Agora, vamos resolver esta equação para encontrar valores inteiros de $ a $ e $ b $. Primeiro, isolamos $ \frac{36}{a} $:

$$
\frac{36}{a} = 11 - 2b.
$$

Para que $ \frac{36}{a} $ seja um número inteiro, $ 11 - 2b $ deve ser um divisor de 36. Vamos verificar os divisores de 36: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36 $.

Vamos testar esses valores para $ 11 - 2b $:

1. Se $ 11 - 2b = 1 $:
    $$
    2b = 10 \implies b = 5.
    $$
    $$
    a = 36.
    $$

2. Se $ 11 - 2b = -1 $:
    $$
    2b = 12 \implies b = 6.
    $$
    $$
    a = -36.
    $$

3. Se $ 11 - 2b = 2 $:
    $$
    2b = 9 \implies b = 4.5 \quad (\text{não é inteiro}).
    $$

4. Se $ 11 - 2b = -2 $:
    $$
    2b = 13 \implies b = 6.5 \quad (\text{não é inteiro}).
    $$

5. Se $ 11 - 2b = 3 $:
    $$
    2b = 8 \implies b = 4.
    $$
    $$
    a = 12.
    $$

6. Se $ 11 - 2b = -3 $:
    $$
    2b = 14 \implies b = 7.
    $$
    $$
    a = -12.
    $$

Continuando com outros divisores, encontramos que as combinações viáveis são:

- $ a = 36 $ e $ b = 5 $
- $ a = -36 $ e $ b = 6 $
- $ a = 12 $ e $ b = 4 $
- $ a = -12 $ e $ b = 7 $

Portanto, os pares de números inteiros $ (a, b) $ que satisfazem a equação são:

$$
(a, b) = (36, 5), (-36, 6), (12, 4), (-12, 7).
$$