(Famema SP/2020) Em uma classe há 9 alunos, dos quais 3 são meninos e 6 são meninas. Os alunos dessa classe deverão formar 3 grupos com 3 integrantes em cada grupo, de modo que em cada um dos grupos haja um menino. O número de maneiras que esses grupos podem ser formados é
R
Raylane
20/09/24

Question

(Famema SP/2020) Em uma classe há 9 alunos, dos quais 3 são meninos e 6 são meninas. Os alunos dessa classe deverão formar 3 grupos com 3 integrantes em cada grupo, de modo que em cada um dos grupos haja um menino. O número de maneiras que esses grupos podem ser formados é

R

Raylane

20/09/24

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos formar 3 grupos de 3 alunos cada, sendo que cada grupo deve conter exatamente 1 menino. Vamos seguir o passo a passo:

1. **Escolher um menino para cada grupo:**

Temos 3 meninos e precisamos escolher 1 menino para cada grupo. Isso pode ser feito de $3!$ maneiras (ou seja, 6 maneiras), pois estamos apenas permutando os meninos entre os grupos.

2. **Distribuir as meninas nos grupos:**

Após escolher um menino para cada grupo, temos 6 meninas restantes que precisam ser distribuídas igualmente entre os 3 grupos. Precisamos escolher 2 meninas para acompanhar o primeiro menino, 2 meninas para o segundo menino e 2 meninas para o terceiro menino.

- Escolher 2 meninas para o primeiro grupo: $\binom{6}{2}$ maneiras.
   - Após escolher as 2 meninas para o primeiro grupo, restam 4 meninas. Escolher 2 meninas para o segundo grupo: $\binom{4}{2}$ maneiras.
   - As 2 meninas restantes automaticamente vão para o terceiro grupo.

Calculando esses valores:
   $$
   \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
   $$
   $$
   \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
   $$

3. **Calcular o número total de maneiras:**

Multiplicamos o número de maneiras de escolher os meninos pelas maneiras de distribuir as meninas:
   $$
   3! \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{2} = 6 \times 15 \times 6 = 540
   $$

Portanto, o número de maneiras que esses grupos podem ser formados é **540**.