O desenho mostra dois quadrados grandes com a mesma área. No quadrado da esquerda,
os pontos médios dos seus lados são os vértices de um quadrado menor branco. No quadrado da direita, os quadrados interiores cinza têm lados de
comprimento igual a um terço do comprimento dos lados
do grande. A área de toda a região cinza do quadrado da
esquerda é igual a 9 cm2
. Qual é a área de toda a região
cinza do quadrado da direita?

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos primeiro entender a relação entre as áreas dos quadrados e como a área cinza é calculada em cada caso.

**Quadrado da Esquerda:**

No quadrado da esquerda, o quadrado menor (branco) tem seus vértices nos pontos médios dos lados do quadrado maior. Isso significa que cada lado do quadrado menor é metade do comprimento do lado do quadrado maior. Se $L$ é o comprimento do lado do quadrado maior, então o lado do quadrado menor é $\frac{L}{2}$.

A área do quadrado maior é $L^2$, e a área do quadrado menor é $\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{L^2}{4}$. A área cinza, portanto, é a diferença entre a área do quadrado maior e a área do quadrado menor, ou seja, $L^2 - \frac{L^2}{4} = \frac{3L^2}{4}$. Sabemos que esta área é igual a 9 cm², então:

$$
\frac{3L^2}{4} = 9 \implies L^2 = \frac{9 \times 4}{3} = 12 \implies L = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
$$

**Quadrado da Direita:**

No quadrado da direita, os quadrados interiores cinza têm lados de comprimento igual a um terço do comprimento dos lados do grande quadrado. Isso significa que se $L$ é o comprimento do lado do quadrado maior, então o lado de cada quadrado cinza é $\frac{L}{3}$.

Cada quadrado cinza tem uma área de $\left(\frac{L}{3}\right)^2 = \frac{L^2}{9}$. Como há 4 quadrados cinza, a área total cinza é $4 \times \frac{L^2}{9} = \frac{4L^2}{9}$.

Substituindo $L = 2\sqrt{3}$ cm (encontrado anteriormente) para encontrar a área total cinza no quadrado da direita:

$$
\text{Área cinza} = \frac{4(2\sqrt{3})^2}{9} = \frac{4 \times 12}{9} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3} \text{ cm}^2
$$

Portanto, a área de toda a região cinza do quadrado da direita é $\frac{16}{3}$ cm², ou aproximadamente 5,33 cm².

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