O gráfico que representa a função quadrática f(x)=ax2+bx+c
, passa por um ponto denominado vértice (V), o qual dependendo do sinal do coeficiente do termo quadrático a
pode ser um ponto de mínimo ou máximo com ilustra os gráficos da figura a seguir:

Figura: Parábola mostrando a posição das raízes da função e do vértice.
Fonte: Adaptado de J. R. de Carvalho (1976)
Sabendo que as raízes da função quadrática são dadas pela fórmula de Bhaskara na forma x1=−b−Δ√2a
e x2=−b+Δ√2a
com Δ=b2−4ac
. E sabendo que a posição x
do vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola, equidistantes dos pontos x1
e x2
, Demonstre com essas informações que a coordenada x
do vértice é dada por xV= −b2a
, e que a coordenada y
do vértice é dada por yV= −Δ4a
.

Question

O gráfico que representa a função quadrática f(x)=ax2+bx+c
,  passa por um ponto denominado vértice (V), o qual dependendo do sinal do coeficiente do termo quadrático a
 pode ser um ponto de mínimo ou máximo com ilustra os gráficos da figura a seguir:


Figura: Parábola mostrando a posição das raízes da função e do vértice.
Fonte: Adaptado de J. R. de Carvalho (1976)
Sabendo que as raízes da função quadrática são dadas pela fórmula de Bhaskara na forma x1=−b−Δ√2a 
 e x2=−b+Δ√2a
 com Δ=b2−4ac
. E sabendo que a posição x
 do vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola, equidistantes dos pontos x1
 e x2
, Demonstre com essas informações que a coordenada x
 do vértice é dada por xV= −b2a
 , e que a coordenada y
 do vértice é dada por yV= −Δ4a
 .

Accepted Answer

Para encontrar as coordenadas do vértice da parábola dada pela função quadrática $ f(x) = ax^2 + bx + c $, vamos utilizar as informações sobre as raízes e a fórmula de Bhaskara.

### Coordenada $ x $ do Vértice

As raízes da função quadrática são dadas por:

$$
x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
$$

$$
x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
$$

Onde $\Delta = b^2 - 4ac$.

A posição $ x $ do vértice ($ x_V $) está exatamente no meio das raízes, ou seja, é o ponto médio entre $ x_1 $ e $ x_2 $. Portanto, podemos calcular $ x_V $ como:

$$
x_V = \frac{x_1 + x_2}{2}
$$

Substituindo as expressões para $ x_1 $ e $ x_2 $:

$$
x_V = \frac{\left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) + \left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)}{2}
$$

Simplificando a expressão:

$$
x_V = \frac{\frac{-b - \sqrt{\Delta} + (-b + \sqrt{\Delta})}{2a}}{2}
$$

$$
x_V = \frac{\frac{-2b}{2a}}{2}
$$

$$
x_V = \frac{-b}{2a}
$$

Portanto, a coordenada $ x $ do vértice é $ x_V = -\frac{b}{2a} $.

### Coordenada $ y $ do Vértice

Para encontrar a coordenada $ y $ do vértice ($ y_V $), substituímos $ x_V = -\frac{b}{2a} $ na função $ f(x) $:

$$
y_V = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$

Calculando cada termo:

1. $ a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 = a \cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a} $
2. $ b\left(-\frac{b}{2a}\right) = -\frac{b^2}{2a} $

Substituindo na expressão de $ y_V $:

$$
y_V = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c
$$

Encontrando um denominador comum:

$$
y_V = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + c
$$

$$
y_V = \frac{b^2 - 2b^2}{4a} + c
$$

$$
y_V = \frac{-b^2}{4a} + c
$$

Como $\Delta = b^2 - 4ac$, então:

$$
y_V = \frac{-\Delta}{4a}
$$

Portanto, a coordenada $ y $ do vértice é $ y_V = -\frac{\Delta}{4a} $.

Assim, demonstramos que as coordenadas do vértice da parábola são $ x_V = -\frac{b}{2a} $ e $ y_V = -\frac{\Delta}{4a} $.

O gráfico que representa a função quadrática f(x)=ax2+bx+c ...

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