Quantos numeros de seis algarismo distintos podemos formar usando os dígitos 1,2,3,4,5 e 6, nos quais o 1 é o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 é o 4 sempre ocupam posições adjacentes
V
Vanessa
10/06/24

Question

Quantos numeros de seis algarismo distintos podemos formar usando os dígitos 1,2,3,4,5 e 6, nos quais o 1 é o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 é o 4 sempre ocupam posições adjacentes

V

Vanessa

10/06/24

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos seguir os seguintes passos:

1. **Considerar o par (3, 4) como uma entidade única:**
   Como o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes, podemos tratá-los como um único dígito "34" ou "43". Isso reduz o problema para a contagem de permutações de cinco "dígitos":

$$
   \{(34), 1, 2, 5, 6\} \quad \text{ou} \quad \{(43), 1, 2, 5, 6\}
   $$

2. **Calcular as permutações dos 5 elementos:**
   O número de permutações de 5 elementos distintos é dado por $5!$:

$$
   5! = 120
   $$

3. **Considerar as duas formas do par (3, 4):**
   Como o par pode ser "34" ou "43", multiplicamos o resultado por 2:

$$
   2 \times 120 = 240
   $$

4. **Remover as permutações onde 1 e 2 estão juntos:**
   Precisamos subtrair as permutações onde 1 e 2 estão juntos. Consideramos o par (1, 2) como uma entidade única e tratamos isso de maneira similar ao par (3, 4).

Agora temos 4 entidades: 
   
   $$
   \{(12), (34), 5, 6\} \quad \text{ou} \quad \{(12), (43), 5, 6\}
   $$

O número de permutações de 4 elementos distintos é:

$$
   4! = 24
   $$

Como tanto "34" quanto "43" são possíveis, multiplicamos por 2:

$$
   2 \times 24 = 48
   $$

E também consideramos as duas formas do par (1, 2):

$$
   2 \times 48 = 96
   $$

5. **Subtrair as permutações inválidas das válidas:**
   Finalmente, subtraímos as permutações onde 1 e 2 estão juntos das permutações totais:

$$
   240 - 96 = 144
   $$

Portanto, o número de números de seis algarismos distintos que podem ser formados usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes é:

$$
\boxed{144}
$$