Utilizando o Teorema do Confronto, demonstre os limites a seguir:
a) lim
𝑥→0 𝑥4 cos (2
𝑥) = 0

Question

Accepted Answer

Para demonstrar o limite utilizando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche ou Teorema dos Dois Gendarmes), precisamos encontrar duas funções, $g(x)$ e $h(x)$, tais que $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ para todos os $x$ próximos de 0, exceto possivelmente em $x = 0$, e tais que $\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} h(x) = L$. Se isso for verdade, então podemos concluir que $\lim_{x \to 0} f(x) = L$.

A função que estamos considerando é $f(x) = x^4 \cos(2x)$.

1. **Encontrando $g(x)$ e $h(x)$:**

Sabemos que o valor absoluto de $\cos(2x)$ é sempre menor ou igual a 1 para todos os $x$, ou seja, $-1 \leq \cos(2x) \leq 1$.

Então, multiplicando toda a desigualdade por $x^4$, temos:
$$x^4(-1) \leq x^4\cos(2x) \leq x^4(1)$$
$$ -x^4 \leq x^4\cos(2x) \leq x^4 $$

Aqui, temos nossas $g(x) = -x^4$ e $h(x) = x^4$.

2. **Calculando os limites de $g(x)$ e $h(x)$:**

- Para $g(x) = -x^4$, temos:
$$\lim_{x \to 0} -x^4 = -(0)^4 = 0$$

- Para $h(x) = x^4$, temos:
$$\lim_{x \to 0} x^4 = (0)^4 = 0$$

3. **Aplicando o Teorema do Confronto:**

Já que $ -x^4 \leq x^4\cos(2x) \leq x^4 $ para todos os $x$ próximos de 0, e ambos os limites de $g(x)$ e $h(x)$ quando $x$ tende a 0 são iguais a 0, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:
$$\lim_{x \to 0} x^4\cos(2x) = 0$$

Utilizando o Teorema do Confronto, demonstre os limites a seguir: a) lim 𝑥→0 𝑥4 cos (2 𝑥) = 0