LISTA DE EXERCÍCIOS RELAÇÃO DE EULER

1) Um poliedro convexo possui 10 faces triangulares, 10 faces quadrangulares e 1 face decagonal. Determine o número de vértices deste poliedro.

2) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices desse poliedro.

3) (PUC-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?

4) Um poliedro convexo de onze faces, tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcular o número de arestas e de vértices do poliedro.

5) (AFA) Um poliedro convexo tem 16 faces. De um dos seus vértices partem 5 arestas; de cinco outros vértices partem 4 arestas e, de cada um dos vértices restantes, partem 3 arestas. Qual o número total de arestas desse poliedro?

6) (ITA-SP) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas e, finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:

7) (Cesargrino) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. Determine o número de vértices deste poliedro.

8) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e y faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro?

9) Determine qual é o poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices e 12 arestas.

10) Determine o nº de vértices de dodecaedro convexo que tem 20 arestas.

11) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado, sabendo que o nº de arestas excede o número de vértices de 6 unidades.

12) Quantas faces possui um poliedro convexo e fechado tem 7 vértices e 15 arestas?

13) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces hexagonais, 6 faces octogonais e 12 faces quadrangulares.

14) Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine o número de faces de cada gênero.

15) Quantas arestas têm um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 3/5 do número de faces?

16) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 5 ângulos tetraédricos e 6 ângulos tridéricos (três semirretas de mesma origem V).

Question

LISTA DE EXERCÍCIOS RELAÇÃO DE EULER

1) Um poliedro convexo possui 10 faces triangulares, 10 faces quadrangulares e 1 face decagonal. Determine o número de vértices deste poliedro.

2) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices desse poliedro.

3) (PUC-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?

4) Um poliedro convexo de onze faces, tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcular o número de arestas e de vértices do poliedro.

5) (AFA) Um poliedro convexo tem 16 faces. De um dos seus vértices partem 5 arestas; de cinco outros vértices partem 4 arestas e, de cada um dos vértices restantes, partem 3 arestas. Qual o número total de arestas desse poliedro?

6) (ITA-SP) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas e, finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:

7) (Cesargrino) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. Determine o número de vértices deste poliedro.

8) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e y faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro?

9) Determine qual é o poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices e 12 arestas.

10) Determine o nº de vértices de dodecaedro convexo que tem 20 arestas.

11) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado, sabendo que o nº de arestas excede o número de vértices de 6 unidades.

12) Quantas faces possui um poliedro convexo e fechado tem 7 vértices e 15 arestas?

13) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces hexagonais, 6 faces octogonais e 12 faces quadrangulares.

14) Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine o número de faces de cada gênero.

15) Quantas arestas têm um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 3/5 do número de faces?

16) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 5 ângulos tetraédricos e 6 ângulos tridéricos (três semirretas de mesma origem V).

Accepted Answer

Claro! Vamos resolver o primeiro exercício como exemplo:

1) Um poliedro convexo possui 10 faces triangulares, 10 faces quadrangulares e 1 face decagonal. Determine o número de vértices deste poliedro.

**Resolução:**

Para resolvermos este problema, utilizamos a relação de Euler para poliedros convexos, que é dada por:
$$ V - A + F = 2 $$
onde $ V $ é o número de vértices, $ A $ é o número de arestas e $ F $ é o número de faces.

**Passo 1: Calcular o número de arestas ($ A $)**

- Cada face triangular contribui com 3 arestas: $ 10 \times 3 = 30 $
- Cada face quadrangular contribui com 4 arestas: $ 10 \times 4 = 40 $
- A face decagonal contribui com 10 arestas: $ 1 \times 10 = 10 $

Somando todas as contribuições, temos:
$$ \text{Total de arestas (contadas duas vezes)} = 30 + 40 + 10 = 80 $$

Como cada aresta é compartilhada por duas faces, o número real de arestas é:
$$ A = \frac{80}{2} = 40 $$

**Passo 2: Calcular o número de vértices ($ V $)**

Sabemos que o número total de faces ($ F $) é:
$$ F = 10 + 10 + 1 = 21 $$

Agora, aplicamos a relação de Euler:
$$ V - 40 + 21 = 2 $$
$$ V - 19 = 2 $$
$$ V = 21 $$

Portanto, o número de vértices do poliedro é 21.

Se precisar de ajuda com outro exercício, é só avisar!

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