Um empreendedor vai aplicar uma certa quantia em uma aplicação financeira a juros compostos. Ele necessita saber a porcentagem por mês que faz com que um capital triplique de valor em quatro anos. O empreendedor pede sua ajuda, pois ele sabe que você conhece as técnicas de matemática comercial financeira. Qual foi o resultado obtido por você para que ocorra o aumento de capital?

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos usar a fórmula dos juros compostos:

$$ M = P(1 + i)^n $$

onde:
- $ M $ é o montante final,
- $ P $ é o capital inicial,
- $ i $ é a taxa de juros por período,
- $ n $ é o número de períodos.

Sabemos que o capital triplica em quatro anos. Portanto, $ M = 3P $. O número de períodos ($ n $) será 48 meses (4 anos * 12 meses/ano).

Substituindo os valores na fórmula, temos:

$$ 3P = P(1 + i)^{48} $$

Podemos simplificar dividindo ambos os lados da equação por $ P $:

$$ 3 = (1 + i)^{48} $$

Agora precisamos encontrar a taxa de juros $ i $. Para isso, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:

$$ \ln(3) = \ln((1 + i)^{48}) $$

Usando a propriedade do logaritmo:

$$ \ln(3) = 48 \cdot \ln(1 + i) $$

Isolando $ \ln(1 + i) $:

$$ \ln(1 + i) = \frac{\ln(3)}{48} $$

Calculando o valor numérico:

$$ \ln(3) \approx 1.0986 $$

Portanto:

$$ \ln(1 + i) \approx \frac{1.0986}{48} \approx 0.0228875 $$

Agora, aplicamos a função exponencial para encontrar $ 1 + i $:

$$ 1 + i \approx e^{0.0228875} $$

Calculando $ e^{0.0228875} $:

$$ 1 + i \approx 1.02314 $$

Finalmente, subtraímos 1 para encontrar $ i $:

$$ i \approx 0.02314 $$

Convertendo para porcentagem:

$$ i \approx 2.314\% $$

Portanto, a taxa de juros mensal necessária para que o capital triplique de valor em quatro anos é aproximadamente **2,314%** ao mês.

Um empreendedor vai aplicar uma certa quantia em uma aplicaç...

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