O cálculo de integrais duplas em regiões circulares pode ser complicado em coordenadas cartesianas, devido à complexidade na descrição da região R. Utilizar coordenadas polares para descrever essas regiões circulares torna o processo de integração mais simples. Assim, é fundamental realizar corretamente a mudança de coordenadas cartesianas para polares ao calcular integrais duplas em regiões mais naturalmente descritas em coordenadas polares.
Deseja-se calcular a integral da função f(x,y) = x² + y² = 16. Assinale a alternativa que representa corretamente a integral dada em coordenadas polares.

A integral em coordenadas polares é dada por
∫_{0}^{π/2} ∫_{0}^{4} (r sen θ) dr dθ.

A integral em coordenadas polares é dada por
∫_{0}^{π/2} ∫_{0}^{4} (r² cos θ) dr dθ.

A integral em coordenadas polares é dada por
∫_{0}^{16} (r² cos θ) dr dθ.

Question

O cálculo de integrais duplas em regiões circulares pode ser complicado em coordenadas cartesianas, devido à complexidade na descrição da região R. Utilizar coordenadas polares para descrever essas regiões circulares torna o processo de integração mais simples. Assim, é fundamental realizar corretamente a mudança de coordenadas cartesianas para polares ao calcular integrais duplas em regiões mais naturalmente descritas em coordenadas polares.
Deseja-se calcular a integral da função f(x,y) = x² + y² = 16. Assinale a alternativa que representa corretamente a integral dada em coordenadas polares.

A integral em coordenadas polares é dada por
∫_{0}^{π/2} ∫_{0}^{4} (r sen θ) dr dθ.

A integral em coordenadas polares é dada por
∫_{0}^{π/2} ∫_{0}^{4} (r² cos θ) dr dθ.

A integral em coordenadas polares é dada por
∫_{0}^{16} (r² cos θ) dr dθ.

Accepted Answer

Para resolver a integral dupla na região circular descrita, precisamos converter a função $x$ para coordenadas polares. Dado que $x = r \cos \theta$, e a equação do círculo é $x^2 + y^2 = 16$, que em coordenadas polares é $r^2 = 16$, temos $r = 4$.

Estamos interessados na região do primeiro quadrante, então os limites para $\theta$ são de $0$ a $\frac{\pi}{2}$ e para $r$ de $0$ a $4$.

A função $f(x, y) = x$ em coordenadas polares se torna $f(r, \theta) = r \cos \theta$.

A integral dupla em coordenadas polares é:

$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r \cos \theta) \, r \, dr \, d\theta
$$

Simplificando, temos:

$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 r^2 \cos \theta \, dr \, d\theta
$$

**Resposta: B**

Essa expressão corresponde à alternativa B.

O cálculo de integrais duplas em regiões circulares pode ser...

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