16. O apotema de um triàngulo equilátero inscrito em uma circunferéncia mede 6 cm . Determine o apótema de um quadrado e de um hexágono inscrito na mesma circunferéncia.

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos entender que o apótema é a distância do centro da circunferência até o ponto médio de um dos lados da figura inscrita. Vamos começar determinando o raio da circunferência.

### Triângulo Equilátero
Para um triângulo equilátero:
- O apótema ($a_t$) de um triângulo equilátero inscrito é dado por $ a_t = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot l $, onde $l$ é o lado do triângulo.
- Sabemos que o apótema é 6 cm.

Podemos relacionar o apótema ao raio ($R$) da circunferência circunscrita:
$$ a_t = R \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Dado que $a_t = 6$ cm:
$$ 6 = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ R = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} $$
$$ R = \frac{12}{\sqrt{3}} $$
$$ R = 4\sqrt{3} \text{ cm} $$

### Quadrado
Para um quadrado inscrito:
- O apótema ($a_q$) é a metade da diagonal do quadrado.
- A diagonal do quadrado é $d = l \sqrt{2}$, onde $l$ é o lado do quadrado.
- Como o quadrado está inscrito na circunferência, a diagonal também é $2R$.

Portanto:
$$ d = 2R $$
$$ l \sqrt{2} = 2R $$
$$ l = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} $$

O apótema do quadrado é:
$$ a_q = \frac{d}{2} = \frac{2R}{2} = R $$

Substituindo $R = 4\sqrt{3}$:
$$ a_q = 4\sqrt{3} \text{ cm} $$

### Hexágono
Para um hexágono regular inscrito:
- O apótema ($a_h$) de um hexágono é igual ao raio da circunferência circunscrita.

Portanto:
$$ a_h = R $$

Substituindo $R = 4\sqrt{3}$:
$$ a_h = 4\sqrt{3} \text{ cm} $$

### Resumo
- O apótema do quadrado inscrito é $4\sqrt{3}$ cm.
- O apótema do hexágono inscrito é $4\sqrt{3}$ cm.

16. O apotema de um triàngulo equilátero inscrito em uma cir...

O apotema de um triàngulo equilátero inscrito em uma circunferéncia mede 6 cm . Determine o apótema de um quadrado e de um hexágono inscrito na mesma circunferéncia.

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