20. Sendo p e q as raízes da equação x² - x - 2 = 0, no caderno, calcule o valor de (p + q)⁵pq.
21. Sendo x₁ e x₂ as raízes da equação 5x² - 2x - 3 = 0, no caderno, calcule o valor de cada uma das expressões.
a) x₁ + x₂
b) x₁ · x₂
c) 1/x₁ + 1/x₂
d) (1 + x₁) · (1 + x₂)

Question

Accepted Answer

Para resolver as questões, vamos usar as propriedades das raízes de equações quadráticas.

### Questão 20

A equação dada é $x^2 - x - 2 = 0$. As raízes $p$ e $q$ podem ser encontradas usando a fórmula de Bhaskara:

$$ p, q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Para a equação $x^2 - x - 2 = 0$, temos $a = 1$, $b = -1$, e $c = -2$.

$$ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $$

As raízes são:

$$ p, q = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} $$

Portanto, $p = 2$ e $q = -1$.

Agora, calcule $ (p + q)^{5pq} $:

$$ p + q = 2 + (-1) = 1 $$

$$ pq = 2 \cdot (-1) = -2 $$

$$ (p + q)^{5pq} = 1^{5 \cdot (-2)} = 1^0 = 1 $$

### Questão 21

A equação dada é $5x^2 - 2x - 3 = 0$. Usando as propriedades das raízes:

- $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2}{5}$
- $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{3}{5}$

Vamos calcular cada expressão:

a) $x_1 + x_2 = \frac{2}{5}$

b) $x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{5}$

c) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{2}{3}$

d) $(1 + x_1) \cdot (1 + x_2) = 1 + (x_1 + x_2) + x_1 \cdot x_2 = 1 + \frac{2}{5} - \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$

Resumindo as respostas:

a) $\frac{2}{5}$

b) $-\frac{3}{5}$

c) $-\frac{2}{3}$

d) $\frac{4}{5}$