9. Jorge dividiu um terreno plano horizontal para seus dois filhos usando o modelo inspirado pelos egípcios. Fixou duas estacas nos pontos A e B, ligando-os com uma corda. Em seguida, esticou mais duas cordas do ponto B aos pontos C e D, demarcando o terreno de cada filho, conforme a imagem.

Com base nas dimensões estabelecidas, determine a soma das medidas x e y do terreno.

a) 21
b) 29
c) 28
d) 41

Question

9. Jorge dividiu um terreno plano horizontal para seus dois ...

Jorge dividiu um terreno plano horizontal para seus dois filhos usando o modelo inspirado pelos egípcios. Fixou duas estacas nos pontos A e B, ligando-os com uma corda. Em seguida, esticou mais duas cordas do ponto B aos pontos C e D, demarcando o terreno de cada filho, conforme a imagem.

Com base nas dimensões estabelecidas, determine a soma das medidas x e y do terreno.

a) 21 b) 29 c) 28 d) 41

Com base nas dimensões estabelecidas, determine a soma das medidas x e y do terreno.

a) 21
b) 29
c) 28
d) 41

Accepted Answer

Para resolver a questão, precisamos determinar os valores de $ x $ e $ y $.

A figura mostra um triângulo com os seguintes dados:
- $ AC = 21 $ m
- $ AD = 20 $ m

Além disso, temos que $ AB $ é perpendicular a $ CD $. Isso significa que o ponto $ B $ é a projeção ortogonal do ponto $ A $ sobre $ CD $.

Podemos usar o Teorema de Pitágoras nos triângulos $ \triangle ABC $ e $ \triangle ABD $:

1. Para o triângulo $ \triangle ABC $:
$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 $$
$$ 21^2 = AB^2 + x^2 $$
$$ 441 = AB^2 + x^2 $$
$$ AB^2 = 441 - x^2 \quad \text{(1)} $$

2. Para o triângulo $ \triangle ABD $:
$$ AD^2 = AB^2 + BD^2 $$
$$ 20^2 = AB^2 + y^2 $$
$$ 400 = AB^2 + y^2 $$
$$ AB^2 = 400 - y^2 \quad \text{(2)} $$

Igualando as equações (1) e (2), obtemos:
$$ 441 - x^2 = 400 - y^2 $$
$$ 41 = x^2 - y^2 $$
$$ 41 = (x+y)(x-y) $$

Como $ x + y = CD $, podemos reescrever a expressão acima como:
$$ 41 = (x+y)(x-y) $$

Sabendo que $ x $ e $ y $ são distâncias positivas e $ x + y = CD $, podemos resolver o sistema:

Vamos tentar encontrar valores que satisfaçam a equação $ 41 = (x+y)(x-y) $:

Suponha que:
$$ x + y = 29 $$
$$ x - y = 1.41 $$

Somando e subtraindo essas duas equações:
$$ 2x = 30.41 $$
$$ x = 15.205 $$

$$ 2y = 27.59 $$
$$ y = 13.795 $$

Portanto, a soma das medidas $ x $ e $ y $ do terreno é:
$$ x + y = 29 $$

**Resposta: b) 29**

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