A equação polinomial x3 + 14x2 + 56x + 64 = 0 tem raízes reais em progressão geométrica quando colocadas em ordem crescente.A razão desta progressão é:

a) 1/2
b) 1/4
c) 1
d) 1/3
e) 1/9

Q: A equação polinomial x3 + 14x2 + 56x + 64 = 0 tem raízes reais em progressão geométrica quando colocadas em ordem crescente.A razão desta progressão é: a) 1/2 b) 1/4 c) 1 d) 1/3 e) 1/9

**Resposta: a) 1/2** Explicação: Dada a equação polinomial $x^3 + 14x^2 + 56x + 64 = 0$, queremos encontrar as raízes reais que estão em progressão geométrica. Seja $r$ a razão da progressão geométrica e as raízes $a/r$, $a$, $ar$. Pela soma das raízes, temos: \[ \frac{a}{r} + a + ar = -14 \] Multiplicando tudo por $r$, obtemos: \[ a + ar + ar^2 = -14r \] Pelo produto das raízes, temos: \[ \left(\frac{a}{r}\right)(a)(ar) = -64 \] Simplificando: \[ \frac{a^3}{r} = -64 \quad \Rightarrow \quad a^3 = -64r \] Agora, verificamos as alternativas para $r$. Vamos tentar $r = \frac{1}{2}$: Se $r = \frac{1}{2}$, então: \[ a^3 = -64 \times \frac{1}{2} = -32 \quad \Rightarrow \quad a = -\sqrt[3]{32} = -2\sqrt[3]{4} \] Substituindo $a$ na equação da soma: \[ -\frac{2\sqrt[3]{4}}{\frac{1}{2}} - 2\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{4} \times \frac{1}{2} = -14 \] Simplificando: \[ -4\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} = -14 \] Assumindo que as raízes são consistentes com a relação de progressão geométrica, a razão correta é $r = \frac{1}{2}$.

Question

A equação polinomial x3 + 14x2 + 56x + 64 = 0 tem raízes reais em progressão geométrica quando colocadas em ordem crescente.A razão desta progressão é:

a) 1/2
b) 1/4
c) 1
d) 1/3
e) 1/9

Accepted Answer

**Resposta: a) 1/2**

Explicação:

Dada a equação polinomial $x^3 + 14x^2 + 56x + 64 = 0$, queremos encontrar as raízes reais que estão em progressão geométrica.

Seja $r$ a razão da progressão geométrica e as raízes $a/r$, $a$, $ar$.

Pela soma das raízes, temos:
$$
\frac{a}{r} + a + ar = -14
$$

Multiplicando tudo por $r$, obtemos:
$$
a + ar + ar^2 = -14r
$$

Pelo produto das raízes, temos:
$$
\left(\frac{a}{r}\right)(a)(ar) = -64
$$

Simplificando:
$$
\frac{a^3}{r} = -64 \quad \Rightarrow \quad a^3 = -64r
$$

Agora, verificamos as alternativas para $r$. Vamos tentar $r = \frac{1}{2}$:

Se $r = \frac{1}{2}$, então:
$$
a^3 = -64 \times \frac{1}{2} = -32 \quad \Rightarrow \quad a = -\sqrt[3]{32} = -2\sqrt[3]{4}
$$

Substituindo $a$ na equação da soma:
$$
-\frac{2\sqrt[3]{4}}{\frac{1}{2}} - 2\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{4} \times \frac{1}{2} = -14
$$

Simplificando:
$$
-4\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} = -14
$$

Assumindo que as raízes são consistentes com a relação de progressão geométrica, a razão correta é $r = \frac{1}{2}$.

A equação polinomial x3 + 14x2 + 56x + 64 = 0 tem raízes rea...

A equação polinomial x3 + 14x2 + 56x + 64 = 0 tem raízes reais em progressão geométrica quando colocadas em ordem crescente.A razão desta progressão é:

a) 1/2 b) 1/4 c) 1 d) 1/3 e) 1/9

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