A medida de cada ângulo externo de um poligono regular convexo que apresenta 54 diagonais é

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Para encontrar a medida de cada ângulo externo de um polígono regular convexo com 54 diagonais, primeiro precisamos determinar o número de lados $ n $ desse polígono.

A fórmula para o número de diagonais $ D $ de um polígono é dada por:

$$
D = \frac{n(n-3)}{2}
$$

Sabemos que $ D = 54 $. Então, substituímos na fórmula e resolvemos para $ n $:

$$
54 = \frac{n(n-3)}{2}
$$

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:

$$
108 = n(n-3)
$$

Expandimos e rearranjamos a equação para formar uma equação quadrática:

$$
n^2 - 3n - 108 = 0
$$

Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Onde $ a = 1 $, $ b = -3 $ e $ c = -108 $. Substituindo esses valores na fórmula:

$$
n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2 \cdot 1}
$$

$$
n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2}
$$

$$
n = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2}
$$

$$
n = \frac{3 \pm 21}{2}
$$

Isso nos dá dois valores possíveis para $ n $:

$$
n = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{ou} \quad n = \frac{-18}{2} = -9
$$

Como $ n $ deve ser um número positivo, temos $ n = 12 $.

Agora, sabemos que o polígono tem 12 lados. A medida de cada ângulo externo de um polígono regular é dada por:

$$
\theta = \frac{360^\circ}{n}
$$

Substituindo $ n = 12 $:

$$
\theta = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ
$$

Portanto, a medida de cada ângulo externo do polígono é:

$$
\boxed{30^\circ}
$$

A medida de cada ângulo externo de um poligono regular conve...

A medida de cada ângulo externo de um poligono regular convexo que apresenta 54 diagonais é

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