A relação de Euler estabelece que, em um poliedro convexo com A arestas, F faces e V vértices, A + 2 = V + F. Um poliedro convexo possui faces quadrangulares e triangulares, num total de 27 faces e 25 vértices.A diferença entre o número de faces quadrangulares e o número de faces triangulares nesse poliedro é

a) 9.
b) 11.
c) 15.
d) 7.

Question

A relação de Euler estabelece que, em um poliedro convexo com A arestas, F faces e V vértices, A + 2 = V + F. Um poliedro convexo possui faces quadrangulares e triangulares, num total de 27 faces e 25 vértices.A diferença entre o número de faces quadrangulares e o número de faces triangulares nesse poliedro é

a) 9. b) 11. c) 15. d) 7.

a) 9.
b) 11.
c) 15.
d) 7.

Accepted Answer

**Resposta: a) 9.**

Para resolver essa questão, vamos usar a relação de Euler e as informações fornecidas:

1. A relação de Euler é dada por $ V - A + F = 2 $. 
   Sabemos que $ F = 27 $ e $ V = 25 $.

2. Substituindo na relação de Euler:
   $$
   25 - A + 27 = 2 \implies A = 50
   $$

3. Agora, vamos considerar o número de arestas em termos das faces:
   - Sejam $ x $ o número de faces triangulares e $ y $ o número de faces quadrangulares.
   - Temos $ x + y = 27 $ (total de faces).
   - Cada face triangular contribui com 3 arestas e cada face quadrangular com 4 arestas. Como cada aresta é compartilhada por duas faces, temos:
     $$
     \frac{3x + 4y}{2} = 50
     $$

4. Resolvendo o sistema de equações:
   - $ x + y = 27 $
   - $ 3x + 4y = 100 $

Multiplicando a primeira equação por 3:
   $$
   3x + 3y = 81
   $$

Subtraindo da segunda equação:
   $$
   3x + 4y - (3x + 3y) = 100 - 81 \implies y = 19
   $$

Substituindo $ y = 19 $ na primeira equação:
   $$
   x + 19 = 27 \implies x = 8
   $$

5. A diferença entre o número de faces quadrangulares $ y $ e o número de faces triangulares $ x $ é:
   $$
   y - x = 19 - 8 = 11
   $$

Portanto, houve um erro inicial. Vamos corrigir:

**Resposta: b) 11.**

A diferença correta é 11.

A relação de Euler estabelece que, em um poliedro convexo co...

Ask a question and receive an answer instantly