As funções exponenciais podem ser utilizadas para modelar qualquer situação, seja de crescimento ou decaimento, em que a variável independente apareça no expoente. Suponha que o aparelho de ar-condicionado de um escritório estragou. A função que descreve a temperatura ambiente (em graus Celsius) em função de t, o tempo transcorrido em horas, desde a quebra do ar-condicionado, tem formato exponencial, sendo dada por:
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Considere que To é a temperatura interna do escritório enquanto a refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (suponha constante). Sabendo que To = 21°C e Text = 30°C, calcule a temperatura no interior do escritório transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar-condicionado onde k=4

Question

As funções exponenciais podem ser utilizadas para modelar qualquer situação, seja de crescimento ou decaimento, em que a variável independente apareça no expoente. Suponha que o aparelho de ar-condicionado de um escritório estragou. A função que descreve a temperatura ambiente (em graus Celsius) em função de t, o tempo transcorrido em horas, desde a quebra do ar-condicionado, tem formato exponencial, sendo dada por:
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Considere que To é a temperatura interna do escritório enquanto a refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (suponha constante). Sabendo que To = 21°C e Text = 30°C, calcule a temperatura no interior do escritório transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar-condicionado onde k=4

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender a função exponencial que modela a temperatura interna do escritório. A função típica para decaimento ou crescimento exponencial é:

$$ T(t) = Text + (To - Text) \cdot e^{-kt} $$

Onde:
- $ T(t) $ é a temperatura no tempo $ t $.
- $ Text $ é a temperatura externa.
- $ To $ é a temperatura inicial interna.
- $ k $ é a constante de taxa de decaimento ou crescimento.
- $ t $ é o tempo transcorrido.

Dado:
- $ To = 21°C $
- $ Text = 30°C $
- $ k = 4 $
- $ t = 4 $ horas

Substituindo os valores na fórmula:

$$ T(4) = 30 + (21 - 30) \cdot e^{-4 \times 4} $$

$$ T(4) = 30 - 9 \cdot e^{-16} $$

Agora, calculamos $ e^{-16} $:

$$ e^{-16} \approx 1.125 \times 10^{-7} $$

Substituindo esse valor:

$$ T(4) = 30 - 9 \cdot (1.125 \times 10^{-7}) $$

$$ T(4) = 30 - 1.0125 \times 10^{-6} $$

Como $ 1.0125 \times 10^{-6} $ é um valor muito pequeno, a temperatura praticamente não muda em relação aos 30°C.

Portanto, a temperatura no interior do escritório após 4 horas é aproximadamente 30°C.