Calcule o volume de um prisma triangular, cuja base é um triângulo equilátero de lado 4cm, sabendo que a aresta lateral mede 6cm e forma com a base desse prisma um ângulo de 60º.

a) 32cm³
b) 33cm³
c) 34cm³
d) 35cm³
e) 36cm³

Question

Calcule o volume de um prisma triangular, cuja base é um triângulo equilátero de lado 4cm, sabendo que a aresta lateral mede 6cm e forma com a base desse prisma um ângulo de 60º.

a) 32cm³
b) 33cm³
c) 34cm³
d) 35cm³
e) 36cm³

Accepted Answer

Para calcular o volume de um prisma triangular, precisamos da área da base e da altura do prisma.

1. **Área da base (triângulo equilátero):**

A fórmula para a área de um triângulo equilátero com lado $ a $ é:

$$
A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
$$

Substituindo $ a = 4 $ cm:

$$
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

2. **Altura do prisma:**

A aresta lateral forma um ângulo de 60º com a base. A altura $ h $ do prisma pode ser encontrada usando a relação trigonométrica do cosseno:

$$
\cos(60º) = \frac{\text{base adjacente}}{\text{hipotenusa}}
$$

Como a aresta lateral é a hipotenusa com comprimento 6 cm, temos:

$$
\cos(60º) = \frac{h}{6}
$$

Sabemos que $\cos(60º) = 0,5$, então:

$$
0,5 = \frac{h}{6} \Rightarrow h = 6 \times 0,5 = 3 \, \text{cm}
$$

3. **Volume do prisma:**

O volume $ V $ do prisma é dado por:

$$
V = \text{Área da base} \times \text{altura}
$$

$$
V = 4\sqrt{3} \times 3 = 12\sqrt{3} \, \text{cm}^3
$$

Calculando $ 12\sqrt{3} \approx 20,78 $, parece que houve um erro nos cálculos ou nas opções fornecidas, pois nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao valor calculado. Vamos verificar se há alguma simplificação ou erro na interpretação.

Reavaliando o problema, percebemos que a relação correta deveria considerar a componente vertical da aresta lateral como altura do prisma. No entanto, o cálculo está correto para os dados fornecidos; se as opções são fixas, pode ser necessário reconsiderar a interpretação do problema.

Se considerarmos apenas uma aproximação para uma das opções dadas, a mais próxima seria **36 cm³**, mas isso não reflete o cálculo exato.

Calcule o volume de um prisma triangular, cuja base é um tri...

Calcule o volume de um prisma triangular, cuja base é um triângulo equilátero de lado 4cm, sabendo que a aresta lateral mede 6cm e forma com a base desse prisma um ângulo de 60º.

a) 32cm³ b) 33cm³ c) 34cm³ d) 35cm³ e) 36cm³

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Calcule o volume de um prisma triangular, cuja base é um tri...

Calcule o volume de um prisma triangular, cuja base é um triângulo equilátero de lado 4cm, sabendo que a aresta lateral mede 6cm e forma com a base desse prisma um ângulo de 60º. a) 32cm³ b) 33cm³ c) 34cm³ d) 35cm³ e) 36cm³

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Calcule o volume de um prisma triangular, cuja base é um triângulo equilátero de lado 4cm, sabendo que a aresta lateral mede 6cm e forma com a base desse prisma um ângulo de 60º.

a) 32cm³ b) 33cm³ c) 34cm³ d) 35cm³ e) 36cm³