Considerando o plano de Argand-Gauss, o afixo do número complexo z = (l + i)6 é um ponto:

a) Do terceiro quadrante.
b) Do segundo quadrante.
c) Do primeiro quadrante.
d) Do eixo real.
e) Do eixo imaginário.

Question

Considerando o plano de Argand-Gauss, o afixo do número complexo z = (l + i)6 é um ponto:

a) Do terceiro quadrante.
b) Do segundo quadrante.
c) Do primeiro quadrante.
d) Do eixo real.
e) Do eixo imaginário.

Accepted Answer

Para determinar em qual quadrante o afixo do número complexo $ z = (1 + i)^6 $ se encontra, precisamos primeiro calcular $ z $.

O número complexo $ 1 + i $ pode ser representado na forma polar. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento:

1. **Módulo**: 
   $$
   |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
   $$

2. **Argumento**:
   $$
   \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}
   $$

Assim, $ 1 + i $ na forma polar é $ \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) $.

Agora, elevamos à sexta potência:

$$
z = \left(\sqrt{2}\right)^6 \left( \cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(6 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \right)
$$

Calculamos cada parte:

- $\left(\sqrt{2}\right)^6 = 8$

- $6 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$

Portanto, temos:

$$
z = 8 \left( \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} \right)
$$

Sabemos que:

- $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$
- $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$

Logo:

$$
z = 8 (0 - i) = -8i
$$

O ponto $-8i$ está localizado no eixo imaginário negativo.

**Resposta: e)**

O afixo do número complexo $ z = (1 + i)^6 $ é um ponto do eixo imaginário.

Considerando o plano de Argand-Gauss, o afixo do número comp...