Considere a curva plana definida pela equação 9x2 + 4y2 + 36x + 24y + 36 = 0. O ponto P = (0,0) é vértice de um retângulo circunscrito à curva.Então a equação da circunferência circunscrita ao retângulo é:

a) (x+2)2+(y+3)2 = 9.
b) (x + 3)2+(y + 2)2= 9.
c) (x - 2)+(y - 3)2 = 13.
d) (x+2)2+(y+3)2 =13.
e) (x+3)2 + (y + 2)2 = 13.

Question

Considere a curva plana definida pela equação 9x2 + 4y2 + 36x + 24y + 36 = 0. O ponto P = (0,0) é vértice de um retângulo circunscrito à curva.Então a equação da circunferência circunscrita ao retângulo é:

a) (x+2)2+(y+3)2 = 9. b) (x + 3)2+(y + 2)2= 9. c) (x - 2)+(y - 3)2 = 13. d) (x+2)2+(y+3)2 =13. e) (x+3)2 + (y + 2)2 = 13.

a) (x+2)2+(y+3)2 = 9.
b) (x + 3)2+(y + 2)2= 9.
c) (x - 2)+(y - 3)2 = 13.
d) (x+2)2+(y+3)2 =13.
e) (x+3)2 + (y + 2)2 = 13.

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos primeiro identificar a forma da curva dada pela equação $9x^2 + 4y^2 + 36x + 24y + 36 = 0$.

1. **Completar o quadrado para as variáveis $x$ e $y$:**

- Para $x$:
     $$
     9x^2 + 36x = 9(x^2 + 4x)
     $$
     Completa-se o quadrado:
     $$
     x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4
     $$
     Logo:
     $$
     9(x^2 + 4x) = 9((x+2)^2 - 4) = 9(x+2)^2 - 36
     $$

- Para $y$:
     $$
     4y^2 + 24y = 4(y^2 + 6y)
     $$
     Completa-se o quadrado:
     $$
     y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9
     $$
     Logo:
     $$
     4(y^2 + 6y) = 4((y+3)^2 - 9) = 4(y+3)^2 - 36
     $$

2. **Substituir na equação original:**
   $$
   9(x+2)^2 - 36 + 4(y+3)^2 - 36 + 36 = 0
   $$
   Simplificando:
   $$
   9(x+2)^2 + 4(y+3)^2 = 36
   $$
   Dividindo toda a equação por 36:
   $$
   \frac{(x+2)^2}{4} + \frac{(y+3)^2}{9} = 1
   $$
   Esta é a equação de uma elipse centrada em $(-2, -3)$.

3. **Determinar a circunferência circunscrita ao retângulo:**

O centro da elipse é $(-2, -3)$, que será também o centro do retângulo circunscrito. O raio da circunferência circunscrita é a distância do centro até um dos vértices do retângulo. Como a elipse é centrada em $(-2, -3)$, o semieixo maior é 3 (raiz de 9) e o semieixo menor é 2 (raiz de 4).

A distância do centro $(-2, -3)$ até um dos vértices do retângulo é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos iguais aos semieixos da elipse:
   $$
   r = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
   $$

Portanto, a equação da circunferência circunscrita ao retângulo é:
   $$
   (x+2)^2 + (y+3)^2 = 13
   $$

**Resposta: D**

A equação correta da circunferência circunscrita ao retângulo é $(x+2)^2 + (y+3)^2 = 13$.

Considere a curva plana definida pela equação 9x2 + 4y2 + 36...

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