Considere o retângulo ABCD no qual AB = CD = 6 cm e AD = BC = 4 cm. Prolongam-se os lados AB, BC, CD e DA até que sejam obtidos os pontos E, F, G e H, tais que: AE = 2.AB; BF = 2.BC; CG = 2.CD e DH = 2.DA. Nessas condições, a área do quadrilátero EFGH, em centímetros quadrados, é:

a) 120
b) 168
c) 184
d) 240

Question

Considere o retângulo ABCD no qual AB = CD = 6 cm e AD = BC = 4 cm. Prolongam-se os lados AB, BC, CD e DA até que sejam obtidos os pontos E, F, G e H, tais que: AE = 2.AB; BF = 2.BC; CG = 2.CD e DH = 2.DA. Nessas condições, a área do quadrilátero EFGH, em centímetros quadrados, é:

a) 120 b) 168 c) 184 d) 240

a) 120
b) 168
c) 184
d) 240

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos primeiro entender a configuração do quadrilátero EFGH em relação ao retângulo ABCD.

1. **Prolongamentos:**
   - $ AE = 2 \times AB = 2 \times 6 = 12 $ cm, então $ E $ está a 12 cm de $ A $ na linha prolongada de $ AB $.
   - $ BF = 2 \times BC = 2 \times 4 = 8 $ cm, então $ F $ está a 8 cm de $ B $ na linha prolongada de $ BC $.
   - $ CG = 2 \times CD = 2 \times 6 = 12 $ cm, então $ G $ está a 12 cm de $ C $ na linha prolongada de $ CD $.
   - $ DH = 2 \times DA = 2 \times 4 = 8 $ cm, então $ H $ está a 8 cm de $ D $ na linha prolongada de $ DA $.

2. **Coordenadas dos pontos:**
   - Assumindo $ A(0, 0) $, $ B(6, 0) $, $ C(6, 4) $, $ D(0, 4) $.
   - $ E(-12, 0) $, pois está a 12 cm à esquerda de $ A $.
   - $ F(6, 8) $, pois está a 8 cm acima de $ B $.
   - $ G(18, 4) $, pois está a 12 cm à direita de $ C $.
   - $ H(0, -8) $, pois está a 8 cm abaixo de $ D $.

3. **Área do quadrilátero EFGH:**
   Para calcular a área do quadrilátero com vértices $ E(-12, 0) $, $ F(6, 8) $, $ G(18, 4) $, $ H(0, -8) $, podemos usar a fórmula da área para um polígono dado por suas coordenadas:

$$
   \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
   $$

Substituindo os valores:

$$
   \text{Área} = \frac{1}{2} \left| (-12)(8) + 6(4) + 18(-8) + 0(0) - (0 \cdot 6 + 8 \cdot 18 + 4 \cdot 0 + (-8)(-12)) \right|
   $$

$$
   \text{Área} = \frac{1}{2} \left| -96 + 24 - 144 + 0 - (0 + 144 + 0 + 96) \right|
   $$

$$
   \text{Área} = \frac{1}{2} \left| -216 - 240 \right| = \frac{1}{2} \times 456 = 228
   $$

Portanto, a área do quadrilátero EFGH é 228 cm².

**Resposta: Nenhuma das alternativas está correta.**

Considere o retângulo ABCD no qual AB = CD = 6 cm e AD = BC ...

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